【題目】已知函數(shù)fn(x)= x3﹣ (n+1)x2+x(n∈N*),數(shù)列{an}滿足an+1=f'n(an),a1=3.
(1)求a2 , a3 , a4;
(2)根據(jù)(1)猜想數(shù)列{an}的通項公式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明;
(3)求證: + +…+ < .
【答案】
(1)解: ,a1=3,又 ,
∴ , ,
(2)解:猜想an=n+2,用數(shù)學(xué)歸納法證明:
當n=1時顯然成立,
假設(shè)當n=k(k∈N*)時,ak=k+2,
則當n=k+1(k∈N*)時,
ak+1=ak2﹣(k+1)ak+1=(k+2)2﹣(k+1)(k+2)+1,
=k+3=(k+1)+2,
∴當n=k(k∈N*)時,猜想成立.
根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法對一切n∈N*,an=n+2均成立
(3)證明:當k≥2時,有 < ,
∴n≥2時,有 <1+ [(1﹣ )+( ﹣ )+…( ﹣ )]
=1+ (1﹣ )<1+ = .
又n=1時, =1< .
故對一切n∈N*,有 <
【解析】(1)先求導(dǎo),再根據(jù)遞推公式分別求出a2 , a3 , a4;(2)利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可,(3)利用裂項求和和放縮法即可證明.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)學(xué)歸納法的定義的相關(guān)知識,掌握數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知z∈C,z+2i 和 都是實數(shù).
(1)求復(fù)數(shù)z;
(2)若復(fù)數(shù)(z+ai)2 在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第四象限,求實數(shù)a 的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中國古代儒家要求學(xué)生掌握六種基本才藝:禮、樂、射、御、書、數(shù),簡稱“六藝”,某中學(xué)為弘揚“六藝”的傳統(tǒng)文化,分別進行了主題為“禮、樂、射、御、書、數(shù)”六場傳統(tǒng)文化知識的競賽,現(xiàn)有甲、乙、丙三位選手進入了前三名的最后角逐、規(guī)定:每場知識競賽前三名的得分都分別為(,且);選手最后得分為各場得分之和,在六場比賽后,已知甲最后得分為26分,乙和丙最后得分都為11分,且乙在其中一場比賽中獲得第一名,則下列推理正確的是( )
A. 每場比賽第一名得分為4 B. 甲可能有一場比賽獲得第二名
C. 乙有四場比賽獲得第三名 D. 丙可能有一場比賽獲得第一名
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直三棱柱ABC﹣A1B1C1 , 底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M、N分別為A1B1、A1A的中點.
(1)求 >的值;
(2)求證:BN⊥平面C1MN;
(3)求點B1到平面C1MN的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= x2﹣3x+(a﹣1)lnx,g(x)=ax,h(x)=f(x)﹣g(x)+3x.
(1)當a=5時,求函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的最小值;
(2)當a=3時,求函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間及極值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《萊因德紙草書》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一.書中有一道這樣的題目:把100個面包分給5個人,使每個人所得成等差數(shù)列,且使較大的三份之和的 是較小的兩份之和,問最小一份為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二維空間中圓的一維測度(周長)l=2πr,二維測度(面積)S=πr2;三維空間中球的二維測度(表面積)S=4πr2 , 三維測度(體積)V= πr3;四維空間中“超球”的三維測度V=8πr3 , 則猜想其四維測度W= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P-ABCD中,AD⊥平面PAB,AP⊥AB.
(1)求證:CD⊥AP;
(2)若CD⊥PD,求證:CD∥平面PAB;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓,定義橢圓的“伴隨圓”方程為;若拋物線的焦點與橢圓C的一個短軸端點重合,且橢圓C的離心率為.
(1)求橢圓C的方程和“伴隨圓”E的方程;
(2)過“伴隨圓”E上任意一點P作橢圓C的兩條切線PA,PB,A,B為切點,延長PA與“伴隨圓”E交于點Q,O為坐標原點.
(i)證明:PA⊥PB;
(ii)若直線OP,OQ的斜率存在,設(shè)其分別為,試判斷是否為定值,若是, 求出該值;若不是,請說明理由.
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