Question

9．已知函數(shù)f（x）=|sinx|•cosx，給出下列五個結(jié)論：
①f（$\frac{2014π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
②若|f（x₁）|=|f（x₂）|，則x₁=x₂+kπ（k∈Z）；
③f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上單調(diào)遞增；
④函數(shù)f（x）的周期為π；
⑤f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{π}{2}$，0）成中心對稱
其中正確的結(jié)論是①⑤（寫出所有正確結(jié)論的序號）

Answer 1

分析 由條件利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論．

解答 解：根據(jù)函數(shù)f（x）=|sinx|•cosx，可得：
①f（$\frac{2014π}{3}$）=|sin（671π+$\frac{π}{3}$）|•cos（671π+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，故①正確；
②當(dāng)x₁ =0，x₂=$\frac{π}{2}$時，滿足|f（x₁）|=|f（x₂）|，∴x₁-x₂ =$\frac{π}{2}$，
顯然不滿足x₁=x₂+kπ（k∈Z），故②錯誤；
③由于f（-$\frac{π}{4}$）=f（$\frac{π}{4}$），故f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上不單調(diào)，故③錯誤；
④函數(shù)f（x）=|sinx|•cosx的周期即 y=cosx的周期，為2π，故④錯誤；
⑤由于f（$\frac{π}{2}$+x）=|sin（x+$\frac{π}{2}$）|•cos（x+$\frac{π}{2}$）=-|cosx|•sinx，
f（$\frac{π}{2}$-x）=|sin（$\frac{π}{2}$-x）|•cos（$\frac{π}{2}$-x）=|cosx|•sinx，
故有f（$\frac{π}{2}$+x）=-f（$\frac{π}{2}$-x），即f（$\frac{π}{2}$+x）+f（$\frac{π}{2}$-x）=0，
 故f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{π}{2}$，0）成中心對稱，故⑤正確，
故答案為：①⑤．

點(diǎn)評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．