精英家教網(wǎng)如圖扇形AOB是一個觀光區(qū)的平面示意圖,其中∠AOB的圓心角為
3
,半徑OA為1Km,為了便于游客觀光休閑,擬在觀光區(qū)內(nèi)鋪設(shè)一條從入口A到出口B的觀光道路,道路由圓弧AC、線段CD及線段BD組成.其中D在線段OB上,且CD∥AO,設(shè)∠AOC=θ,
(1)用θ表示CD的長度,并寫出θ的取值范圍.
(2)當θ為何值時,觀光道路最長?
分析:(1)利用θ表示CD的長度的關(guān)鍵是在△COD中正確利用正弦定理;
(2)首先將道路長度L(θ)表達成θ的函數(shù)關(guān)系式,再利用導數(shù)方法研究函數(shù)的最大值,從而可以求得θ=
π
6
時,觀光道路最長..
解答:解:(1)在△COD中,由正弦定理得
CD
sin∠COD
=
OD
sin∠DCO
=
CO
sin∠CDO
,又CD∥AO,CO=1,∠AOC=θ,所以CD=cosθ+
1
3
sinθ,OD=
2
3
sinθ

因為OD<OB,所以sinθ<
3
2
,所以0<θ<
π
3
,所以
CD=cosθ+
1
3
sinθ
,θ的取值范圍為(0,
π
3
)

(2)設(shè)道路長度L(θ),則L(θ)=cosθ-
1
3
sinθ+θ+1,θ∈(0,
π
3
)
,L/(θ)=-sinθ-
3
3
cosθ+1

由L′(θ)=0得sin(θ+
π
6
)=
3
2
,又θ∈(0,
π
3
)
,所以θ=
π
6

易得θ=
π
6
時,L(θ)取到最大值,即θ=
π
6
時,觀光道路最長.
點評:解決實際問題的關(guān)鍵在于建立數(shù)學模型和目標函數(shù),把“問題情境”譯為數(shù)學語言,找出問題的主要關(guān)系,并把問題的主要關(guān)系抽象成數(shù)學問題,在數(shù)學領(lǐng)域?qū)ふ疫m當?shù)姆椒ń鉀Q,再返回到實際問題中加以說明.
練習冊系列答案
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(1)用θ表示CD的長度,并寫出θ的取值范圍。

(2)當θ為何值時,觀光道路最長?

 

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(Ⅰ)用θ表示CD的長度,并寫出θ的取值范圍;
(Ⅱ)當θ為何值時,觀光道路最長?

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(1)用θ表示CD的長度,并寫出θ的取值范圍.
(2)當θ為何值時,觀光道路最長?

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(1)用θ表示CD的長度,并寫出θ的取值范圍.
(2)當θ為何值時,觀光道路最長?

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