Question

11．正項數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足12S_n=${a}_{n}^{2}$+6a_n+5．且a₁＜2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{3}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項和，求使T_n＜$\frac{m}{20}$對所有n∈N^*都成立的最小正整數(shù)m；
（3）記C_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$）（n∈N^*），求和：B_n=C₁+C₂+…+C_n．

Answer 1

分析 （1）分類討論，當(dāng)n≥2時，由12S_n=a_n²+6a_n+5化簡可得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）-6（a_n+a_n-1）=0，從而可得數(shù)列{a_n}是以1為首項，6為公差的等差數(shù)列，從而求得；
（2）化簡b_n=$\frac{3}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{（6n-5）（6n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$），從而求和，從而解得；
（3）化簡C_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{6n+1}{6n-5}$+$\frac{6n-5}{6n+1}$）=1+3（$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$），從而求和．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時，12a₁=a₁²+6a₁+5，
解得，a₁=1或a₁=5（舍去）；
當(dāng)n≥2時，12S_n=a_n²+6a_n+5，12S_n-1=a_n-1²+6a_n-1+5，
兩式作差可得，
12a_n=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）+6（a_n-a_n-1），
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）+6（a_n-a_n-1）-12a_n=0，
故（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）-6（a_n+a_n-1）=0，
故a_n-a_n-1-6=0，
故數(shù)列{a_n}是以1為首項，6為公差的等差數(shù)列，
故a_n=1+6（n-1）=6n-5；
（2）b_n=$\frac{3}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{（6n-5）（6n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$），
故T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{7}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{13}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{6n+1}$）=$\frac{3n}{6n+1}$，
故只需使$\frac{1}{2}$≤$\frac{m}{20}$，
故m的最小值為10；
（3）C_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{6n+1}{6n-5}$+$\frac{6n-5}{6n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{6}{6n-5}$+1-$\frac{6}{6n+1}$）
=1+3（$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$），
B_n=C₁+C₂+…+C_n
=n+3（1-$\frac{1}{7}$）+3（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{13}$）+…+3（$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$）
=n+3（1-$\frac{1}{6n+1}$）=n+3-3$\frac{1}{6n+1}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的判斷及性質(zhì)，同時考查了分類討論的思想與裂項求和法的應(yīng)用，屬于中檔題．