Question

已知z=t+3+3

3

i，其中t∈C，且

t+3

t-3

為純虛數(shù)．
（1）求t的對應(yīng)點的軌跡；
（2）求|z|的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出復(fù)數(shù)t的代數(shù)形式，代入

t+3

t-3

利用復(fù)數(shù)的除法運算整理，由實部等于0且徐步部等于0可求t得軌跡方程；
（2）根據(jù)t的軌跡是以原點為圓心，3為半徑的圓，并除去（-3，0），（3，0）兩點，又z=t+3+3

3

i，利用復(fù)數(shù)加法的幾何意義可求|z|的最大值和最小值．

解答：解：（1）設(shè)t=x+yi（x，y∈R），
則

t+3

t-3

=

x+3+yi

x-3+yi

=

[(x+3)+yi][(x-3)-yi]

(x-3)2+y2

=

(x2+y2-9)-6yi

(x-3)2+y2

，
∵

t+3

t-3

為純虛數(shù)，
∴

x2+y2-9=0 y≠0

，即

x2+y2=9 y≠0

．
∴t的對應(yīng)點的軌跡是以原點為圓心，3為半徑的圓，并除去（-3，0），（3，0）兩點；
（2）由t的軌跡可知，|t|=3，
∴|z-(3+3

3

)i|=3，圓心對應(yīng)3+3

3

i，半徑為3，
∴|z|的最大值為：|3+3

3

i|+3=9，
|z|的最小值為：|3+3

3

i|-3=3．

點評：本題考查了復(fù)數(shù)的基本概念，考查了軌跡方程的求法，考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，訓(xùn)練了復(fù)數(shù)加法的幾何意義，解答的關(guān)鍵是對軌跡方程中不滿足條件點的取舍，是中檔題．