Question

設，．

（1）求的單調區(qū)間和最小值；

（2）討論與的大小關系；

（3）求的取值范圍，使得對任意＞0成立．

 

Answer 1

（1）是的單調減區(qū)間，是的單調遞增區(qū)間，的最小值為；（2）當，，，當時，，；（3）．

【解析】

試題分析：（1）根據條件易知，求導，從而可知是的單調減區(qū)間，是的單調遞增區(qū)間，的最小值為；（2）構造函數，則，從而在遞減，而，從而當，，，當時，，；（3）根據題意可知恒成立等價于，由（1）可知，即解不等式，從而解得．

試題解析：（1）∵，，∴，∴，令，得，當時，，是減函數，故是的單調減區(qū)間，當時，，是增函數，故是的單調遞增區(qū)間，∴是的唯一極值點，且為極小值點，從而是最小值點，∴的最小值為；

（2），設，，在遞減，

當，，即，當，，，當時，，；

（3）由（1）知的最小值為，∴，對任意成立等價于，

即，從而得．

考點：1．利用導數判斷函數單調性證明不等式；2．恒成立問題．