Question

本題（1）、（2）、（3）三個選答題，每小題7分，請考生任選2題作答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計分．
（1）選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣A=

3 3 c d

，若矩陣A屬于特征值6的一個特征向量為

α

=

1 1

，屬于特征值1的一個特征向量為

β

=

^

&-2；
（Ⅰ）求矩陣A；
（Ⅱ）判斷矩陣A是否可逆，若可逆求出其逆矩陣A^-1．
（2）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
已知直線的極坐標方程為ρsin(θ+

π

4

)=

2

2

，圓M的參數(shù)方程為

x=2cosθ y=-2+2sinθ

（其中θ為參數(shù)）．
（Ⅰ）將直線的極坐標方程化為直角坐標方程；
（Ⅱ）求圓M上的點到直線的距離的最小值．
（3）選修4-5：不等式選講，設(shè)函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-a|；
（Ⅰ）若a=-1，解不等式f（x）≥3；
（Ⅱ）如果關(guān)于x的不等式f（x）≤2有解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）（Ⅰ）利用矩陣屬于特征值的一個特征向量的定義，我們可以建立方程，從而可以求出c=2，d=4，即可得到矩陣A；
（Ⅱ）根據(jù)

.

3 3 2 4

.

=6≠0，可知矩陣A可逆，，從而可求出A-1=

2 3 - 1 2 - 1 3 1 2

（2）（Ⅰ）先利用和角的三角函數(shù)展開，再利用極坐標與直角坐標的互化公式可以求出直線的直角坐標方程；
（Ⅱ）利用圓M的普通方程為：x²+（y+2）²=4，再根據(jù)圓心M（0，-2）到直線x+y-1=0的距離公式，我們可以求出圓M上的點到直線的距離的最小值；
（3）（Ⅰ）當a=-1時，f（x）=|x-1|+|x+1|．由f（x）≥3，得，|x-1|+|x+1|≥3，分類討論，我們可以求出不等式的解集；
（Ⅱ）因為關(guān)于x的不等式f（x）≤2有解，所以，f（x）_min≤2，從而我們可以得到|a-1|≤2，即可求出a的取值范圍．

解答：（1）解：（Ⅰ）∵矩陣A屬于特征值6的一個特征向量為

α

=

1 1

，∴A

α

=6

α

∴

3 3 c d

1 1

=6

1 1

，得c+d=6①---------------（2分）
同理

3 3 c d

3 -2

=

3 -2

，得，3c-2d=-2②----------------（3分）
由①②聯(lián)立，解得，c=2，d=4；∴A=

3 3 2 4

…（4分）
（Ⅱ）∵

.

3 3 2 4

.

=6≠0，∴矩陣A可逆，…（5分）
∴A-1=

2 3 - 1 2 - 1 3 1 2

…（7分）
（2）（Ⅰ）∵ρsin(θ+

π

4

)=

2

2

，∴

2

2

(ρsinθ+ρcosθ)=

2

2

，
∴ρsinθ+ρcosθ=1．----------------（2分）
所以，該直線的直角坐標方程為：x+y-1=0．----------------（3分）
（Ⅱ）圓M的普通方程為：x²+（y+2）²=4----------------（4分）
圓心M（0，-2）到直線x+y-1=0的距離d=

|0-2-1|

2

=

3 2

2

．---------------（5分）
所以，圓M上的點到直線的距離的最小值為

3 2

2

-2．----------------（7分）
（3）（Ⅰ）當a=-1時，f（x）=|x-1|+|x+1|．
由f（x）≥3，得，|x-1|+|x+1|≥3．
①當x≤-1時，不等式化為1-x-1-x≥3，即x≤-

3

2

．所以，原不等式的解為x≤-

3

2

．…（1分）
②當-1＜x＜1時，不等式化為1-x+1+x≥3，即2≥3．所以，原不等式無解．…（2分）
③當x≥1時，不等式化為-1+x+1+x≥3，即x≥

3

2

．所以，原不等式的解為x≥

3

2

．…（3分）
綜上，原不等式的解為(-∞，-

3

2

]∪[

3

2

，+∞)．…（4分）
（Ⅱ）因為關(guān)于x的不等式f（x）≤2有解，所以，f（x）_min≤2．…（5分）
因為|x-1|+|x-a|表示數(shù)軸上的點到x=1與x=a兩點的距離之和，
所以，f（x）_min=|a-1|．…（6分）
∴|a-1|≤2，解得，-1≤a≤3．
所以，a的取值范圍為[-1，3]．…（7分）

點評：本題是選做題，考查矩陣，坐標系與參數(shù)方程，考查不等式，熟悉各個知識點，熟練運用公式是我們解題的關(guān)鍵．