Question

P是雙曲線x²-

y2

3

=1右支上一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂分別是左、右焦點(diǎn)，I是三角形PF₁F₂的內(nèi)心（三條內(nèi)角平分線交點(diǎn)），若S△PF1F2=2S△IPF2+（1+

1

λ

）S△IF1F2，則實(shí)數(shù)λ的值為

2

．

Answer 1

分析：利用三角形的面積公式與雙曲線的定義，可求得λ=

c

a

，從而可求得答案．

解答：解：依題意，設(shè)雙曲線x²-

y2

3

=1的焦距為2c，實(shí)軸長為2a，則c=2，a=1．
∵I是三角形PF₁F₂的內(nèi)心，設(shè)三角形PF₁F₂的內(nèi)切圓的半徑為r，
則：S△PF1F2=

1

2

（|F₁F₂|+|PF₁|+|PF₂|）r，
S△IPF2=

1

2

|PF₂|r，S△IF1F2=

1

2

|F₁F₂|r，
∵S△PF1F2=2S△IPF2+（1+

1

λ

）S△IF1F2，
又S△PF1F2=S△IPF2+S△IF1F2+S△IPF1，
∴S△IPF2+

1

λ

S△IF1F2=S△IPF1，
即

1

2

|PF₂|r|+

1

λ

×

1

2

|F₁F₂|r=

1

2

|PF₁|r，
∴|PF₂|+

1

λ

|F₁F₂|=|PF₁|，又P是雙曲線x²-

y2

3

=1右支上一點(diǎn)，
∴

1

λ

=

|PF1|-|PF2|

|F1F2|

=

2a

2c

=

a

c

=

1

2

，
∴λ=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形的面積公式與雙曲線的定義及性質(zhì)（離心率）的應(yīng)用，求得λ=

c

a

是關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化與綜合運(yùn)用的能力，屬于中檔題．