Question

已知函數f（x）=log_a（2+x）-log_a（2-x）（a＞0，且a≠1）．
（1）若1是函數y=f（x）-x的零點，求實數a的值；
（2）判斷f（x）的奇偶性．

Answer 1

考點：函數的零點,函數奇偶性的判斷

專題：函數的性質及應用

分析：（1）運用log_a（2+1）-log_a（2-1）=1，解方程即可．（2）運用定義判斷，先考慮函數的定義域，再運用f（-x）=log_a（2-x）-log_a（2+x）=-f（x）得證．

解答： 解：函數f（x）=log_a（2+x）-log_a（2-x）（a＞0，且a≠1）．
（1）∵1是函數y=f（x）-x的零點，
∴f（1）=1，
log_a（2+1）-log_a（2-1）=1，
log_a3=1，
∴a=3，
（2）f（x）=log_a（2+x）-log_a（2-x），

2+x＞0 2-x＞0

，
-2＜x＜2，
函數的定義為（-2，2）關于原點對稱，
∵f（-x）=log_a（2-x）-log_a（2+x）=-f（x），
∴f（x）為偶函數．

點評：本題考查了函數的性質，概念，屬于容易題，難度不大．