Question

已知函數(shù)f（x）=x²-（a+2）x+alnx．其中常數(shù)a＞0．
（1）當(dāng)a＞2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)a=4時(shí)，給出兩類直線：6x+y+m=0與3x-y+n=0，其中m，n為常數(shù)，判斷這兩類直線中是否存在y=f（x）的切線，若存在，求出相應(yīng)的m或n的值，若不存在，說明理由．
（3）設(shè)定義在D上的函數(shù)y=h（x）在點(diǎn)P（x，h（x））處的切線方程為l：y=g（x），當(dāng)x≠x時(shí)，若在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)y=h（x）的“類對(duì)稱點(diǎn)”，當(dāng)a=4時(shí)，試問y=f（x）是否存在“類對(duì)稱點(diǎn)”，若存在，請(qǐng)至少求出一個(gè)“類對(duì)稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由==，能求出當(dāng)a＞2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）a=4，f′（x）=2x+，故≥4-6，不存在6x+y+m=0這類直線的切線．
（3），令h（x）=f（x）-g（x），由此入手，能夠求出一個(gè)“類對(duì)稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵f（x）=x²-（a+2）x+alnx，
∴==，
∵a＞2，∴．
當(dāng)0＜x＜1及x＞時(shí)，f′（x）＞0．當(dāng)1＜x＜時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）的增區(qū)間是（0，1），（）．
（2）a=4，f′（x）=2x+，
∵x＞0，∴≥4-6，
不存在6x+y+m=0這類直線的切線．
由得與x=4，當(dāng)時(shí)，求得．
當(dāng)x=4時(shí)，求得n=4ln4-20．
（3），
令h（x）=f（x）-g（x）=•（x-x）-（），
則h（x）=0，
-6）=2（x-x）（1-）=（x-x）（x-），
當(dāng)時(shí)，h（x）在（x，）上單調(diào)遞減．
∴x∈（）時(shí)，h（x）＜h（x）=0，從而有x∈（）時(shí)，＜0，
當(dāng)時(shí)，h（x）在（）上單調(diào)遞減，
∴x∈（）．
h（x）＞h（x）=0．從而有時(shí)，＜0．
∴在上不存在“類對(duì)稱點(diǎn)”．
當(dāng)x=時(shí)，，
∴h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，故＞0，
x=是一個(gè)類對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查類對(duì)稱點(diǎn)的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．