Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

x2+2ax，g(x)=3a2lnx+b．其中a，b∈R．
（1）設(shè)兩曲線y=f（x）與y=g（x）有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處的切線相同，若a＞0，試建立b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若b∈[-2，2]時(shí)，函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）-（2a+b）x在（0，4）上為單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)公共點(diǎn)（x₀，y₀），根據(jù)題意得到f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀），解出b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)已知h（x）為單調(diào)增函數(shù)，則h′（x）≥0在（0，4）上恒成立，再轉(zhuǎn)化為2≤x+

3a2

x

對x∈（0，4）恒成立，解出a的取值范圍即可．

解答：解：（1）設(shè)兩曲線y=f（x）與y=g（x）在公共點(diǎn)（x₀，y₀） 處的切線相同，
由于f′（x）=x+2a，g′（x）=

3a2

x

，
由題意知f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀），
即

1 2 x 2 0  +2ax0=3a2lnx0+b x0+2a= 3a2 x0

解得 x₀=a或x₀=-3a （舍去），
將x₀=a代入上述方程組中的第一個(gè)方程，得b=

5a2

2

-3a²lna，
∴b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式為：b=

5a2

2

-3a²lna（a＞0）．
（2）h（x）=f（x）+g（x）-（2a+b）x
=

1

2

x2-bx+3a2lnx+b．
∵h(yuǎn)（x）在（0，4）上恒為單調(diào)增函數(shù)，
所以h′(x)=x-b+

3a2

x

≥0恒成立，b≤x+

3a2

x

在b∈[-2，2]時(shí)恒成立，
即2≤x+

3a2

x

對x∈（0，4）恒成立．
∴3a²≥-x²+2x=-（x-1）²+1對x∈（0，4）恒成立，
∴3a²≥1，
∴a≥

3

3

或a≤-

3

3

．
綜上，a的取值范圍是：a≥

3

3

或a≤-

3

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等知識，是一道關(guān)于函數(shù)的綜合題，屬于中檔題．