Question

2．已知（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為64．
（1）求n的值；
（2）寫(xiě)出展開(kāi)式中的一次項(xiàng)系數(shù)．

Answer 1

分析 （1）∵（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和得出2ⁿ=64，從而求出n的值；
（2）利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式T_r+1，令x的指數(shù)等于1，求出r的值，即可求出對(duì)應(yīng)的結(jié)果．

解答 解：（1）∵（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為64，
∴2ⁿ=64，
解得n=6；
（2）（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：
T_r+1=${C}_{6}^{r}$•（2$\sqrt{x}$）^6-r•（-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）^r=${C}_{6}^{r}$•2^6-r•（-1）^r•x^3-r，
令3-r=1，解得r=2，
故該展開(kāi)式中的一次項(xiàng)系數(shù)為：
${C}_{6}^{2}$•2⁴•（-1）²=240．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．