精英家教網(wǎng)已知A，B是單位圓上的兩點(diǎn)，O為圓心，且∠AOB=120°，MN是圓O的一條直徑，點(diǎn)C在圓內(nèi)，且滿足
OC
=λ
OA
+（1-λ）
OB
（0＜λ＜1）．
（Ⅰ）求證：點(diǎn)C在線段AB上；
（Ⅱ）求
CM
•
CN
的取值范圍．
分析：（Ⅰ）由于
OC
=λ
OA
+（1-λ）
OB
（0＜λ＜1），可得
OC
-
OB
=λ(
OA
-
OB
)，即
BC
=λ
BA
，由于0＜λ＜1，可得
BC
，
BA
同向平行，且|
BC
|＜|
BA
|，即可證明．
（Ⅱ）利用向量的數(shù)量積運(yùn)算可得
CM
•
CN
=(
OM
-
OC
)•(
ON
-
OC
)=
OM
•
ON
-
OC
•(
OM
+
ON
)+
OC
2=-1+
OC
2．由于∠AOB=120°，點(diǎn)C在線段AB上，可得|
OC
|∈[
1
2
，1)，即可得出．
解答：（Ⅰ）證明：∵
OC
=λ
OA
+（1-λ）
OB
（0＜λ＜1），
∴
OC
-
OB
=λ(
OA
-
OB
)，即
BC
=λ
BA
，
∵0＜λ＜1，
∴
BC
，
BA
同向平行，且|
BC
|＜|
BA
|，
∴點(diǎn)C在線段AB上；
（Ⅱ）解：
CM
•
CN
=(
OM
-
OC
)•(
ON
-
OC
)=
OM
•
ON
-
OC
•(
OM
+
ON
)+
OC
2=-1+
OC
2．
∵∠AOB=120°，點(diǎn)C在線段AB上；
∴|
OC
|∈[
1
2
，1)，
∴
CM
•
CN
∈[-
3
4
，0)．
點(diǎn)評：本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算和共線定理，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•聊城一模）已知A，B是單位圓（O為圓心）上的兩個(gè)定點(diǎn)，且∠AOB=60°，若C為該圓上的動(dòng)點(diǎn)，且
OC
=x
OA
+y
OB
(x，y∈R)，則xy的最大值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A、B是單位圓O上的動(dòng)點(diǎn)，且A、B分別在第一、二象限，C是圓O與x軸正半軸的交點(diǎn)，△AOB為等腰直角三角形，記∠AOC=α．
（1）求A點(diǎn)的坐標(biāo)為（
3
5
，
4
5
），求
sin2α+sin2α
cos2α+cos2α
的值；
（2）求|BC|的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A，B是單位圓上的兩點(diǎn)，O為圓心，且∠AOB=120°，MN是圓O的一條直徑，點(diǎn)C在圓內(nèi)，且滿足
OC
=λ
OA
+（1-λ）
OB
（0＜λ＜1），則
CM
?
CN
的取值范圍是（　�。�
A、[-
1
2
，1）
B、[-1，1）
C、[-
3
4
，0）
D、[-1，0）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A，B是單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，且|AB|=
3
，單位圓的圓心為O，則
OA
?
AB
=（　�。�
A、-
3
2
B、
3
2
C、-
3
2
D、
3
2

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同步練習(xí)冊答案