Question

13．如圖，在四面體ABCD中，點(diǎn)B₁，C₁，D₁分別在棱AB，AC，AD上，且平面B₁C₁D₁∥平面BCD，A₁為△BCD內(nèi)一點(diǎn)，記三棱錐A₁-B₁C₁D₁的體積為V，設(shè)$\frac{{A{D_1}}}{AD}=x$，對(duì)于函數(shù)V=F（x），則下列選項(xiàng)正確的是（　�。�

• A． 函數(shù)F（x）在$（{\frac{1}{2}，1}）$上是減函數(shù)
• B． 函數(shù)F（x）的圖象關(guān)于直線$x=\frac{1}{2}$對(duì)稱
• C． 當(dāng)$x=\frac{2}{3}$時(shí)，函數(shù)F（x）取得最大值
• D． 存在x₀，使得$F（{x_0}）＞\frac{7}{27}{V_{A-BCD}}$（其中V_A-BCD為四面體ABCD的體積）

Answer 1

分析 由題意設(shè)出底面BCD的面積和高，由$\frac{{A{D_1}}}{AD}=x$，求出平面B₁C₁D₁的面積，求出平面B₁C₁D₁與平面BCD的距離，代入三棱錐體積公式求得函數(shù)V=F（x），然后利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)區(qū)間和最值，逐一核對(duì)四個(gè)選項(xiàng)得答案．

解答 解：如圖，設(shè)四面體ABCD的底面積為S，高為h．
∵平面B₁C₁D₁∥平面BCD，∴△B₁C₁D₁∽△BCD，
又$\frac{A{D}_{1}}{AD}=x$，∴$\frac{{S}_{△{B}_{1}{D}_{1}{C}_{1}}}{{S}_{△BCD}}={x}^{2}$，
∴${S}_{△{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}=S{x}^{2}$，
設(shè)A到平面B₁C₁D₁的距離為h′，由$\frac{h′}{h}=\frac{A{D}_{1}}{AD}=x$，得h′=hx，
∴平面B₁C₁D₁與平面BCD間的距離，即A₁到平面B₁C₁D₁的距離為h（1-x）．
則V=$\frac{1}{3}•S{x}^{2}h（1-x）$=$\frac{1}{3}Sh（{x}^{2}-{x}^{3}）$（0＜x＜1），
V′=$\frac{1}{3}Sh（2x-3{x}^{2}）$，由V′=0，得x=$\frac{2}{3}$，
當(dāng)x∈（0，$\frac{2}{3}$）時(shí)，V′＞0，當(dāng)x∈（$\frac{2}{3}，1$）時(shí)，V′＜0，
∴當(dāng)x=$\frac{2}{3}$時(shí)，V有最大值等于$\frac{4}{81}Sh$．
故A，B錯(cuò)誤，C正確；
又$\frac{4}{81}Sh＜\frac{7}{81}Sh=\frac{7}{27}•\frac{1}{3}Sh=\frac{7}{27}{V}_{A-BCD}$，
∴不存在x₀，使得$F（{x_0}）＞\frac{7}{27}{V_{A-BCD}}$，D錯(cuò)誤．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查棱錐體積的求法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是中檔題．