Question

1．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．
（1）求證：DC⊥平面PAC；（2）求證：平面PAB⊥平面PAC；
（3）設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，在棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得PA∥平面CEF？說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用線(xiàn)面垂直的判定定理證明DC⊥平面PAC；
（2）利用線(xiàn)面垂直的判定定理證明AB⊥平面PAC，即可證明平面PAB⊥平面PAC；
（3）在棱PB上存在中點(diǎn)F，使得PA∥平面CEF．利用線(xiàn)面平行的判定定理證明．

解答 （1）證明：∵PC⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，
∴PC⊥DC，
∵DC⊥AC，PC∩AC=C，
∴DC⊥平面PAC；
（2）證明：∵AB∥DC，DC⊥AC，
∴AB⊥AC，
∵PC⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴PC⊥AB，
∵PC∩AC=C，
∴AB⊥平面PAC，
∵AB?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAC；
（3）解：在棱PB上存在中點(diǎn)F，使得PA∥平面CEF．
∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，
∴EF∥PA，
∵PA?平面CEF，EF?平面CEF，
∴PA∥平面CEF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)面平行與垂直的證明，考查平面與平面垂直的證明，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．