Question

（本小題滿分14分）已知圓C的圓心在坐標原點O，且與直線相切．

（1）求直線被圓C所截得的弦AB的長；

（2）若與直線垂直的直線與圓C交于不同的兩點P，Q，且以PQ為直徑的圓過原點，求直線的縱截距；

（3）過點G(1,3)作兩條與圓C相切的直線，切點分別為M,N，求直線MN的方程．

 

Answer 1

（1）；（2）2或-2；（3）

【解析】

試題分析：（1）已知得圓的半徑為圓心到直線的距離，求得半徑r=2，所以圓的標準方程為：；通過半弦長與半徑、弦心距的關系求得弦AB長為；（2）由已知可設直線的方程為：，聯(lián)立圓的方程化簡得，得，由根與系數(shù)的關系得，又，所以,變形化簡得滿足，解得b=2或-2；（3）由題意知點M、N在以點為圓心，線段長為半徑的圓G上，而，所以，圓G的方程為，與圓C的方程相減得公共弦MN的方程；

試題解析：（1）由題意得：圓心到直線的距離為圓的半徑，

，所以圓的標準方程為：

所以圓心到直線的距離

（2）設直線的方程為：聯(lián)立得：，

設直線與圓的交點，

由，得， （3）

因為，所以,即滿足，

又，

所以 （4）

由（3）（4）得，滿足，即

（3）因為點,所以,

所以以點為圓心，線段長為半徑的圓方程： （1）

又圓方程為： （2），由得直線方程：

考點：直線與圓的位置關系與向量的數(shù)量積運算的應用