Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AC∩BD=O．
（Ⅰ）若AC⊥PD，求證：AC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若平面PAC⊥平面ABCD，求證：PB=PD；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在點M（異于點C）使得BM∥平面PAD，若存在，求的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD．…（1分）
∵AC⊥PD，PD∩BD=D，
∴AC⊥平面PBD．…（3分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知AC⊥BD．
∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，BD?平面ABCD，
∴BD⊥平面PAC．…（5分）
∵PO⊥平面PAC，∴BD⊥PO．…（7分）
∵底面ABCD是菱形，∴BO=DO．
∴PB=PD．…（8分）
（Ⅲ）解：不存在．下面用反證法加以證明．…（9分）
假設(shè)存在點M（異于點C）使得BM∥平面PAD．
在菱形ABCD中，BC∥AD，
∵AD?平面PAD，BC?平面PAD，
∴BC∥平面PAD．…（11分）
∵BM∥平面PBC，BC∥平面PBC，BC∩BM=B，
∴平面PBC∥平面PAD．…（13分）
這與平面PBC與平面PAD相交矛盾，故假設(shè)不成立．
∴在棱PC上不存在點M（異于點C）使得BM∥平面PAD．…（14分）
分析：（I）菱形的對角線AC⊥BD，結(jié)合已知條件AC⊥PD，利用線面垂直的判定定理可得AC⊥平面PBD；
（II）利用面面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合AC⊥BD得到BD⊥平面PAC，從而BD⊥PO且PO是BD的垂直平分線，得到PB=PD；
（III）利用反證法證明：若在棱PC上是否存在點M（異于點C）使得BM∥平面PAD，就有平面PBC∥平面PAD的矛盾，從而證出在棱PC上不存在點M（異于點C）使得BM∥平面PAD．
點評：本題給出一個特殊四棱錐，要我們證明線面垂直，并且判斷線面平行的存在性，著重考查了空間平行、垂直位置關(guān)系的判斷與證明等知識，屬于中檔題．