Question

已知函數(shù)f（x）=sinx，
（I）若y=f（x）與y=g（x）在（0，0）處有相同的切線，求p的值
（II）在（I）的條件下，求證：當x∈（0，1）時，f（x）＞g（x）恒成立
（III）若x∈（0，1）時f（x）＞g（x）恒成立，求p的取值范圍．

Answer 1

解：（I）∵f′（x）=cosx，f′（0）=1，
，g′（0）=p，
y=f（x）與y=g（x）在（0，0）處有相同的切線，
∴p=1…（3分）
（II）設(shè)F（x）=f（x）-g（x），
當p=1時，F(xiàn)（x）=sinx-x+，
，
F''（x）=-sinx+x，
當x∈（0，1）時，sinx＜x，故F''（x）＞0，
從而F′（x）在（0，1）上單調(diào)增，
所以，F(xiàn)′（x）＞F′（0）=0，
∴F（x）在（0，1）上單調(diào)增，
∴F（x）＞f（0）=0，即f（x）＞g（x）恒成立．
（III）當x∈（0，1）時，
∵F''（x）=-sinx+x＞0，
∴F（x）在（0，1）上單調(diào)增，從而F（x）在（0，1）內(nèi)不可能出現(xiàn)先增后減的情況，
∵F（0）=0，
∴要使F（x）＞0在（0，1）上恒成立，
必有F（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，
即F′（x）≥0在x∈（0，1）上恒成立，
∵F′（x），
∴1-p≥0，
即p≤1．
分析：（I）由f′（x）=cosx，f′（0）=1，，g′（0）=p，知p=1．
（II）設(shè)F（x）=f（x）-g（x），當p=1時，F(xiàn)（x）=sinx-x+，，F(xiàn)''（x）=-sinx+x，當x∈（0，1）時，F(xiàn)′（x）＞F′（0）=0，由此能夠證明（x）＞g（x）恒成立．
（III）當x∈（0，1）時，由F''（x）=-sinx+x＞0，知F（x）在（0，1）上單調(diào)增，從而F（x）在（0，1）內(nèi)不可能出現(xiàn)先增后減的情況，由此能夠求出p的范圍．
點評：本題考查函數(shù)的恒成立問題，解題時要認真審題，仔細解答，注意導數(shù)的合理運用．