【題目】已知f(ex)=ax2﹣x,a∈R.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求x∈(0,1]時,f(x)的值域;
(3)設(shè)a>0,若h(x)=[f(x)+1﹣a]logxe對任意的x1 , x2∈[e﹣3 , e﹣1],總有|h(x1)﹣h(x2)|≤a+ 恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】
(1)解:設(shè)ex=t,則x=lnt>0,所以f(t)=a(lnt)2﹣lnt
所以f(x)=a(lnx)2﹣lnx(x>0)
(2)解:設(shè)lnx=m(m≤0),則f(x)=g(m)=am2﹣m
當a=0時,f(x)=g(m)=﹣m,g(m)的值域為[0,+∞)
當a≠0時,
若a>0, ,g(m)的值域為[0,+∞)
若a<0, ,g(m)在 上單調(diào)遞增,在 上單調(diào)遞減,g(m)的值域為 )
綜上,當a≥0時f(x)的值域為[0,+∞)
當a<0時f(x)的值域為
(3)解:因為 對任意 總有
所以h(x)在[e﹣3,e﹣1]滿足
設(shè)lnx=s(s∈[﹣3,﹣1]),則 ,s∈[﹣3,﹣1]
當1﹣a<0即a>1時r(s)在區(qū)間[﹣3,﹣1]單調(diào)遞增
所以 ,即 ,所以 (舍)
當a=1時,r(s)=s﹣1,不符合題意
當0<a<1時,則 =a(s+ )﹣1,s∈[﹣3,﹣1]
若 即 時,r(s)在區(qū)間[﹣3,﹣1]單調(diào)遞增
所以 ,則
若 即 時r(s)在 遞增,在 遞減
所以 ,得
若 即 時r(s)在區(qū)間[﹣3,﹣1]單調(diào)遞減
所以 ,即 ,得
綜上所述:
【解析】(1)利用換元法進行求解即可.(2)根據(jù)函數(shù)的解析式即可求函數(shù)的值域.(3)根據(jù)函數(shù)恒成立問題,建立不等式關(guān)系進行求解即可.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的值域的相關(guān)知識,掌握求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的.事實上,如果在函數(shù)的值域中存在一個最。ù螅⿺(shù),這個數(shù)就是函數(shù)的最。ù螅┲担虼饲蠛瘮(shù)的最值與值域,其實質(zhì)是相同的,以及對二次函數(shù)的性質(zhì)的理解,了解當時,拋物線開口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增;當時,拋物線開口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f (x)= 的定義域集合是A,函數(shù)g(x)=lg[x2﹣(2a+1)x+a2+a]的定義域集合是B.
(1)求集合A,B.
(2)若A∪B=B,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)= ,x∈[2,4].
(1)判斷f(x)的單調(diào)性,并利用單調(diào)性的定義證明:
(2)求f(x)在[2,4]上的最值.
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(x)= ,則g[f(﹣7)]=( )
A.3
B.﹣3
C.2
D.﹣2
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【題目】已知f(x)=log2(2x+a)的定義域為(0,+∞).
(1)求a的值;
(2)若g(x)=log2(2x+1),且關(guān)于x的方程f(x)=m+g(x)在[1,2]上有解,求m的取值范圍.
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【題目】已知偶函數(shù)y=f(x)(x∈R)在區(qū)間[0,3]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[3,+∞)上單調(diào)遞減,且滿足f(﹣4)=f(1)=0,則不等式x3f(x)<0的解集是( )
A.(﹣4,﹣1)∪(1,4)
B.(﹣∞,﹣4)∪(﹣1,1)∪(3,+∞)
C.(﹣∞,﹣4)∪(﹣1,0)∪(1,4)
D.(﹣4,﹣1)∪(0,1)∪(4,+∞)
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【題目】如圖,設(shè)橢圓: 的離心率為, 分別為橢圓的左、右頂點, 為右焦點,直線與的交點到軸的距離為,過點作軸的垂線, 為上異于點的一點,以為直徑作圓.
(1)求的方程;
(2)若直線與的另一個交點為,證明:直線與圓相切.
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【題目】數(shù)列{an}的前n項和為Sn=2an﹣2,數(shù)列{bn}是首項為a1 , 公差不為零的等差數(shù)列,且b1 , b3 , b11成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn= ,前n項和為Pn , 對于n∈N*不等式 Pn<t恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列函數(shù)中,在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是( )
A.y=
B.y=x2
C.y=x3
D.y=sinx
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