Question

6．2016年里約奧運(yùn)會(huì)和殘奧會(huì)吉祥物的名字于2015年12月14日揭曉，兩個(gè)吉祥物分別叫維尼修斯（Vinicius）和湯姆（Tom）（如圖），以此紀(jì)念巴薩諾瓦曲風(fēng)的著名音樂(lè)家Viniciusde Moraes和Tom Jobim．某商場(chǎng)在抽獎(jiǎng)箱中放置了除圖案外，其它無(wú)差別的8張卡片，其中2張印有“維尼修斯（Vinicius）”圖案，n（2≤n≤4）張印有“湯姆（Tom）”圖案，其余卡片上印有“2016年里約奧運(yùn)會(huì)”的圖案，從抽獎(jiǎng)箱中任意抽取兩張卡片，兩張卡片圖案相同的概率是$\frac{1}{4}$．
（1）求n的值；
（2）規(guī)定每次從中不放回地抽取一張卡片，若抽取到印有“維尼修斯（Vinicius）”或者印有“湯姆（Tom）”圖案的卡片，則結(jié)束抽獎(jiǎng)，用隨機(jī)變量ξ表示抽獎(jiǎng)次數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

Answer 1

分析 （1）由已知，得n²-6n+9=0，由此能求出n．
（2）由已知得ξ的可能取值為1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）∵8張卡片，其中2張印有“維尼修斯（Vinicius）”圖案，n（2≤n≤4）張印有“湯姆（Tom）”圖案，
其余卡片上印有“2016年里約奧運(yùn)會(huì)”的圖案，從抽獎(jiǎng)箱中任意抽取兩張卡片，兩張卡片圖案相同的概率是$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{C}_{2}^{2}+{C}_{n}^{2}+{C}_{8-2-n}^{2}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
整理，得n²-6n+9=0，
解得n=3．
（2）由已知得ξ的可能取值為1，2，3，4，
P（ξ=1）=$\frac{5}{8}$，
P（ξ=2）=$\frac{3}{8}×\frac{5}{7}=\frac{15}{56}$，
P（ξ=3）=$\frac{3}{8}×\frac{2}{7}×\frac{5}{6}$=$\frac{5}{56}$，
P（ξ=4）=$\frac{3}{8}×\frac{2}{7}×\frac{1}{6}×\frac{5}{5}$=$\frac{1}{56}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	1	2	3	4
P	$\frac{5}{8}$	$\frac{15}{56}$	$\frac{5}{56}$	$\frac{1}{56}$

Eξ=$1×\frac{5}{8}+2×\frac{15}{56}+3×\frac{5}{56}+4×\frac{1}{56}$=$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立的概率乘法公式的合理運(yùn)用．