Question

在數(shù)列{a_n}中，a1=5，an+1=3an+2n+1(n∈N*)
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令bn=

2n+1

3n+1-an

，求數(shù)列{b_n}的前n項和s_n；
（3）令cn=

an

an+1

，數(shù)列{c_n}的前n項和T_n，求證：Tn＞

3n-4

9

．

Answer 1

分析：（1）由a1=5，an+1=3an+2n+1(n∈N*)，知a_n+1+2•2ⁿ⁺¹=3（a_n+2×2ⁿ），由此利用構(gòu)造法能求出a_n．
（2）由a_n=3ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹，知bn=

2n+1

3n+1-an

=

2n+1

2n+1

=（2n+1）•(

1

2

)n+1，故S_n=3×(

1

2

)2+5×(

1

2

)3+…+(2n+1)•(

1

2

)n+1，由此利用錯位相減法能夠求出數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．
（3）由a_n=3ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹，知cn=

an

an+1

=

3n+1-2n+1

3n+2-2n+2

=

1-( 2 3 )n+1

3-2•( 2 3 )n+1

＞

1

3

[1-(

2

3

)n+1]，由此利用放縮法能夠證明Tn＞

3n-4

9

．

解答：解：（1）∵a1=5，an+1=3an+2n+1(n∈N*)
∴a_n+1+2•2ⁿ⁺¹=3（a_n+2×2ⁿ），
∵a₁+2•2¹=9
∴{a_n+2ⁿ⁺¹}是等比數(shù)列，公比為3，
∴a_n+2ⁿ⁺¹=3ⁿ⁺¹，
∴a_n=3ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹．
（2）∵a_n=3ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹，
∴bn=

2n+1

3n+1-an

=

2n+1

2n+1

=（2n+1）•(

1

2

)n+1，
∴S_n=3×(

1

2

)2+5×(

1

2

)3+…+(2n+1)•(

1

2

)n+1

1

2

Sn=3×(

1

2

)3+5×(

1

2

)4+…+(2n+1)•(

1

2

)n+2，
∴

1

2

Sn=3×(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+…+2×(

1

2

)n+1-(2n+1)•(

1

2

)n+2
=(

1

2

)2+2[(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n+1]-（2n+1）•(

1

2

)n+2
=

1

4

+[1-(

1

2

)n]-(2n+1)•(

1

2

)n+2
=

5

4

-

2n+5

2n+2

．
∴S_n=

5

2

-

2n+5

2 n+1

．
（3）∵a_n=3ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹，
∴cn=

an

an+1

=

3n+1-2n+1

3n+2-2n+2

=

1-( 2 3 )n+1

3-2•( 2 3 )n+1

＞

1

3

[1-(

2

3

)n+1]，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n
＞

1

3

[1-(

2

3

)2]+

1

3

[1-(

2

3

)3]+…+

1

3

[1-(

2

3

)n+1]
=

n

3

-

1

3

×

4 9 [1-( 2 3 )n]

1- 2 3

=

n

3

-

4

9

+

4

9

×(

2

3

)n＞

3n-4

9

．
∴Tn＞

3n-4

9

．

點評：本題考查利用構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式，利用錯位相減法求數(shù)列的前n項和，利用放縮法證明不等式．解題時要認真審題，仔細解答，注意轉(zhuǎn)化化歸思想的合理運用．