Question

已知函數(shù)f（x）=x⁴+ax³+bx+c（a，b，c∈R），g（x）=f′（x）且g（0）=g（1）．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若任意x₁、x₂∈[0，1]且x₂＞x₁，求證：|g（x₂）-g（x₁）|＜8|x₂-x₁|；
（Ⅲ）當(dāng)b≤

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時(shí)，請判斷曲線f（x）的所有切線中，斜率λ為正數(shù)時(shí)切線的條數(shù)，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用g（0）=g（1），建立方程關(guān)系，即可求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）利用作差法求出g（x₂）-g（x₁）的范圍，利用不等式的性質(zhì)即可證明|g（x₂）-g（x₁）|＜8|x₂-x₁|；
（Ⅲ）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，即可得到結(jié)論．

解答： （Ⅰ）證明：∵g（x）=f′（x）=4x³+2ax+b，g（0）=g（1），
∴a=-2，g（x）=4x³-4x+b，
（Ⅱ）由g（x）=4x³-4x+b，
∴|g（x₂）-g（x₁）|=4|（x₂-x₁）（x₂²+x₁x₂+x₁²-1）|，
∵x₁、x₂∈[0，1]且x₂＞x₁，
∴-1＜x₂²+x₁x₂+x₁²-1＜2，|x₂²+x₁x₂+x₁²-1）|＜2，
∴|g（x₂）-g（x₁）|＜8|x₂-x₁|；
（Ⅱ）f′（x）=4x³-4x+b，令4x³-4x+b=λ，
下面討論方程4x³-4x+b=λ的實(shí)根情況：
設(shè)m（x）=4x³-4x+b-λ，（-1≤x≤1），
由m′（x）=12x²-4=0，有x₁=-

3

3

，x₂=

3

3

，
∵-1≤x＜-

3

3

時(shí)，m′（x）＞0，-

3

3

＜x＜

3

3

時(shí)m′（x）＜0，

3

3

＜x≤1時(shí)，m′（x）＞0
∴[-1，-

3

3

），（

3

3

，1]為m（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，（-

3

3

，

3

3

）為m（x）的單調(diào)遞
減區(qū)間     …（10分）
∵m（-

3

3

）=-

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9

+b-λ，b≤

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，λ＞0，
∴m（-

3

3

）＜0，
∵m（1）=b-λ=m（-1），[-1，-

3

3

）為m（x）的單調(diào)遞增區(qū)間且m（-

3

3

）＜0，
∴m（1）=m（-1）＜0，
∵（

3

3

，1]為m（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，（-

3

3

，

3

3

）為m（x）的單調(diào)遞減區(qū)間，
∴m（x）=4x³-4x+b-λ在[-1，1]上沒有零點(diǎn)，即曲線f（x）的所有切線中，斜率λ 為正數(shù)時(shí)切線的條數(shù)為零…（14分）（理科）
∵x＜-

3

3

時(shí)，m′（x）＞0，-

3

3

＜x＜

3

3

時(shí)，m′（x）＜0，x＞

3

3

，時(shí)m′（x）＞0
∴（-∞，-

3

3

），（

3

3

，+∞）為m（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，（-

3

3

，

3

3

）為m（x）的單調(diào)遞
減區(qū)間     …（10分）

∵m（-

3

3

）=-

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+b-λ，b≤

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，λ＞0，
∴m（-

3

3

）＜0---------（12分）
∵x→+∞時(shí)，m（x）=4x³-4x+b-λ→+∞，
又 （-∞，-

3

3

），（

3

3

，+∞）為m（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，（-

3

3

，

3

3

）為m（x）的單調(diào)遞
減區(qū)間，
∴m（x）=4x³-4x+b-λ在R上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即有且只有一條切線滿足條件的切線…（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．