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16.對于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定義f″(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的導(dǎo)數(shù),若方程f″(x)=0有實(shí)數(shù)解x0,則稱點(diǎn)(x0,f(x0))為函數(shù)y=f(x)的圖象的“拐點(diǎn)”,可以證明,任何三次函數(shù)的圖象都有“拐點(diǎn)”,任何三次函數(shù)的圖象都有對稱中心,且“拐點(diǎn)”就是對稱中心.請你根據(jù)這一結(jié)論判斷下列命題:
①任意三次函數(shù)都關(guān)于點(diǎn)(-\frac{3a},f(-3a))對稱;
②存在三次函數(shù)y=f(x),f(x)=0有實(shí)數(shù)解x0,則稱點(diǎn)(x0,f(x0))為函數(shù)y=f(x)的圖象的對稱中心;
③存在三次函數(shù)的圖象不止一個對稱中心;
④若函數(shù)g(x)=13x3-12x2-512,則g(12017)+g(22017)+g(32017)+…+g(20162017)=-1008
其中正確命題的序號為①②④(寫出所有正確命題的序號)

分析 ①根據(jù)函數(shù)f(x)的解析式求出f′(x)和f″(x),令f″(x)=0,求得x的值,由此求得三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的對稱中心;
②③利用三次函數(shù)對稱中心的定義和性質(zhì)進(jìn)行判斷;
④由函數(shù)g(x)的對稱中心是(12,-12),得g(x)+(g(1-x)=-1,由此能求出答案.

解答 解:∵f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),
∴f′(x)=3ax2+2bx+c,f''(x)=6ax+2b,
∵f″(x)=6a×(-3a)+2b=0,
∴任意三次函數(shù)都關(guān)于點(diǎn)(-3a,f(-\frac{3a}))對稱,即①正確;
∵任何三次函數(shù)都有對稱中心,且“拐點(diǎn)”就是對稱中心,
∴存在三次函數(shù)f′(x)=0有實(shí)數(shù)解x0,點(diǎn)(x0,f(x0))為y=f(x)的對稱中心,即②正確;
任何三次函數(shù)都有且只有一個對稱中心,故③不正確;
∵g′(x)=x2-x,g(x)=2x-1,
令g(x)=0,可得x=12,∴g(12)=-12
∴g(x)=13x3-12x2-512對稱中心為(12,-12),
∴g(x)+g(1-x)=-1,
∴g(12017)+g(22017)+g(32017)+…+g(20162017)=-=-1×1008=-1008,故④正確.
故答案為:①②④.

點(diǎn)評 本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,考查化簡計算能力,求函數(shù)的值以及函數(shù)的對稱性的應(yīng)用,屬于難題.

練習(xí)冊系列答案
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