如圖，在△ABC中，
CM
=2
.
BM
，過點M的直線分別交射線AB、AC于不同的兩點P、Q．若
.
AP
=m
.
AB
，
.
AQ
=n
.
AC
，則m+n的最小值為（　　）
A、1+
2
2
3
B、2
2
C、3
D、
3
考點：平面向量的基本定理及其意義
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：首先根據(jù)的向量的幾何意義，利用P，M，Q三點共線，得出m，n的關(guān)系，分別令
1
n
=y，
1
m
=x，f（x）=m+n，得到關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，在求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求最小值．
解答： 解：如圖：

∵
BC
=
AC
-
AB
，
CM
=2
.
BM
，
∴
BM
=
1
3
BC
=
1
3
(
AC
-
AB
)
∴
AM
=
AB
+
BM
=
1
3
AC
+
2
3
AB

∵
.
AP
=m
.
AB
，
.
AQ
=n
.
AC
，
∴
AM
=
1
3n
AQ
+
2
3m
AP

∵P，M，Q三點共線，
∴
1
3n
+
2
3m
=1，
令
1
n
=y，
1
m
=x，
∴
y
3
+
2x
3
=1
∴y=3-2x，
∵x＞0，y＞0
∴0＜x＜
3
2
，
令f（x）=m+n=
1
x
+
1
y
=
1
x
+
1
3-2x
，
∴f′（x）=
2
(3-2x)2
-
1
x2

令f′（x）=0，
∴
2
(3-2x)2
=
1
x2

解得，x=
6-3
2
2
，或x=
6+3
2
2
＞
3
2
（舍去）
當(dāng)x=
6-3
2
2
時，f（x）有最小值，
∴f（x）min=1+
2
2
3
，
故選：A．
點評：本題考查了向量的幾何意義以及三點共線定理以及利用到導(dǎo)數(shù)來求函數(shù)的最小值問題，是一道綜合題目，涉及知識點比較多，考查了化歸思想，方程的思想．屬于難題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

拋物線y2=2px（p＞0）的焦點為F，已知A，B為拋物線上的兩個動點，且滿足∠AFB=120°，過弦AB的中點M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MN，垂足為N，則
|MN|
|AB|
的最大值為（　　）
A、2
B、
2
3
3
C、1
D、
3
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在等差數(shù)列{an}中，首項a1=0，公差d≠0，若ap=S9，則p的值為（　�。�
A、37B、20C、36D、9

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)a＞0，在二項式（a-
x
）10的展開式中，含x的項的系數(shù)與含x4的項的系數(shù)相等，則a的值為（　　）
A、1B、2C、4D、8

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

復(fù)數(shù)
5
3-4i
的共軛復(fù)數(shù)是（　�。�
A、
3
5
-
4
5
i
B、
3
5
+
4
5
i
C、3+4i
D、3-4i

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)曲線C1的參數(shù)方程為
x=4t
y=
3
+4t
（t為參數(shù)），曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2
2
sinθ，則曲線C1與C2交點的個數(shù)為（　�。�
A、0B、1C、2D、1或2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知Sn是等差數(shù)列{an}（n∈N*）的前n項和，且S8＞S9＞S7，有下列四個命題，期中是假命題的是（　�。�
A、公差d＜0
B、在所有Sn＜0中，S17最大
C、a8＞a9
D、滿足Sn＞0的n的個數(shù)有15個

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖1，四邊形ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2作如圖2折疊；折痕EF∥DC，其中點E，F(xiàn)分別在線段PD，PC上，沿EF折疊后點P疊在線段AD上的點記為M，并且MF⊥CF．
（1）證明：CF⊥平面MDF；
（2）求三棱錐M-CDE的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在三棱錐P-ABC中，點P在平面ABC上的射影D是AC的中點，BC=2AC=8，AB=4
5
．
（Ⅰ）證明：平面PBC⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PD=2
3
，求二面角A-PB-C的平面角的余弦值．

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