Question

已知某精密儀器生產(chǎn)總成本C（單位：萬(wàn)元）與月產(chǎn)量x（單位：臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系為C=100+4x，月最高產(chǎn)量為15臺(tái)，出廠單價(jià)p（單位：萬(wàn)元）與月產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系為：p=76+15x-x²．
（1）求月利潤(rùn)L與產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系式L（x）；
（2）求月產(chǎn)量x為何值時(shí)，月利潤(rùn)L（x）最大？

Answer 1

分析：（1）月利潤(rùn)函數(shù)L（x）=出廠單價(jià)p×月產(chǎn)量x-成本C，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可；
（2）由（1）知，利潤(rùn)函數(shù)L（x）是x的三次函數(shù)，對(duì)L（x）求導(dǎo)，令L'（x）=0，解得x的值，得出L（x）取最大值以及對(duì)應(yīng)x的值．

解答：解：（1）月利潤(rùn)函數(shù)為：L（x）=px-C=（76+15x-x²）x-（100+4x）=-x³+15x²+72x-100，
其中0＜x≤15．
（2）因?yàn)槔麧?rùn)函數(shù)L（x）是x的三次函數(shù)，對(duì)L（x）求導(dǎo)，得
L′（x）=-3x²+30x+72=-3（x+2）（x-12）；
令L'（x）=0，解得x=12，或x=-2（舍去），
當(dāng)x∈（0，12）時(shí)，L'（x）＞0；當(dāng)x∈（12，15]時(shí)，L'（x）＜0；
因此，當(dāng)x=12時(shí)，L（x）取最大值；
所以，月產(chǎn)量為12臺(tái)時(shí)，月利潤(rùn)L（x）最大，最大月利潤(rùn)為L(zhǎng)（12）萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：本題以實(shí)際問(wèn)題為載體，考查了三次函數(shù)模型的應(yīng)用，求三次函數(shù)在某一區(qū)間上的最值問(wèn)題時(shí)，通常用求導(dǎo)法．