Question

已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的離心率為

2

2

，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為其焦點(diǎn)，一直線過點(diǎn)F₁與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且△F₂AB的最大面積為

2

，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：設(shè)出橢圓方程，直線AB方程，聯(lián)立利用韋達(dá)定理，表示出三角形的面積，結(jié)合基本不等式，即可求得結(jié)論．

解答：解：由e=

2

2

得a：b：c=

2

：1：1，所以橢圓方程設(shè)為x²+2y²=2c²
設(shè)直線AB：x=my-c，由

x=my-c x2+2y2=2c2

得：（m²+2）y²-2mcy-c²=0
∴△=4m²c²+4c²（m²+2）=4c²（2m²+2）=8c²（m²+1）＞0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁，y₂是方程的兩個(gè)根
由韋達(dá)定理得

y1+y2= 2mc m2+2 y1y2=- c2 m2+2

，所以|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

2 2 c m2+1

m2+2

∴S△ABF2=

1

2

|F1F2||y1-y2|=c•2

2

c

m2+1

m2+2

=

2 2 c2

m2+1 + 1 m2+1

≤2

2

c2•

1

2

=

2

c2
當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)，即AB⊥x軸時(shí)取等號(hào)
∴

2

c2=

2

，c=1
∴所求橢圓方程為

x2

2

+y2=1

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．