Question

已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，且當x∈（-∞，0]時，f（x）=e^-x-ex²+a，則函數f（x）在x=1處的切線方程為（　�。�

A．x+y=0

B．ex-y+1-e=0

C．ex+y-1-e=0

D．x-y=0

Answer 1

分析：利用f（0）=0先求出a的值，設x∈（0，+∞），根據已知條件求出f（-x），再利用奇函數，求出f（x）在（0，+∞）上的解析式，同時可求出導函數；求出切點坐標，再求出該點處的導數即為切線的斜率，利用點斜式表示出直線方程即可．

解答：解：由題意得，f（0）=1-0+a=0，解得a=-1，
∴當x∈（-∞，0]時，f（x）=e^-x-ex²-1，
設x∈（0，+∞），則-x＜0，f（-x）=e^x-ex²-1，
∵f（x）是定義在R上的奇函數，
∴f（x）=-f（-x）=-e^x+ex²+1，此時x∈（0，+∞），
∴f′（x）=-e^x+2ex，
∴f^′（1）=e，
把x=1代入f（x）=-e^x+ex²+1得，f（1）=1，則切點為（1，1），
∴所求的切線方程為：y-1=e（x-1），化簡得ex-y-e+1=0，
故選B．

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，奇函數性質的利用，以及函數解析式，求函數在某范圍內的解析式，一般先將自變量設在該范圍內，再想法轉化到已知范圍上去，考查了轉化思想．