Question

已知：ABCD是矩形，設PA=a，PA⊥平面ABCD，M，N分別是AB，PC的中心點．
（1）若PA=BC，求證：MN⊥平面PCD；
（2）若PD=AB，且平面MND⊥平面PCD，求二面角P-CD-A的大�。�

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）取PD的中點E，連接AE，NE，則四邊形AMNE是平行四邊形，可得MN∥AE，證明AE⊥平面PCD，即可證明結論；
（2）先判斷∠PDA為二面角P-CD-A的平面角，再利用PA=2，PD=AB，且平面MND⊥平面PCD，即可求得二面角P-CD-A的大�。�

解答： （1）證明：取PD的中點E，連接AE，NE，則四邊形AMNE是平行四邊形，
∴MN∥AE，
∵PA=BC=PD，E是PD的中點，
∴AE⊥PD，
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵CD⊥AD，PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥AE，
∵PD∩CD=D，
∴AE⊥平面PCD，
∵MN∥AE，
∴MN⊥平面PCD；
（2）解：由PD=AB=DC，N是PC的中點得：ND⊥PC，
又由面MND⊥面PCD得：PC⊥面MND，
∴PC⊥MN∴MP=MC，
Rt△MPA≌Rt△MCB，
∴PA=BC=2，
即PA=AD=2，∠PDA=45°，
易知∠PDA為二面角P-CD-A的平面角，
∴二面角P-CD-A的大小為45°．

點評：本題考查線面垂直，考查二面角P-CD-A的大小，正確運用線面垂直的判定定理，確定二面角P-CD-A的平面角是關鍵．