Question

已知關(guān)于x的二次方程（x-1）（x-2）=m（x-a²-b²）對(duì)一切m∈R恒有實(shí)數(shù)解，則點(diǎn)（a，b）在平面ab上的區(qū)域面積為________．

Answer 1

π
分析：先將關(guān)于x的二次方程（x-1）（x-2）=m（x-a²-b²）可化為x²-（3+m）x+2+m（a²+b²）=0，根據(jù)方程（x-1）（x-2）=m（x-a²-b²）對(duì)一切m∈R恒有實(shí)數(shù)解，△≥0，得到m²+[6-4（a²+b²）]m+1≥0，恒成立，從而得：△′≤0，得出1≤a²+b²≤2，則點(diǎn)（a，b）在平面ab上的區(qū)域是圓環(huán)，最后求得其面積．
解答：關(guān)于x的二次方程（x-1）（x-2）=m（x-a²-b²）可化為：
x²-（3+m）x+2+m（a²+b²）=0，
∵方程（x-1）（x-2）=m（x-a²-b²）對(duì)一切m∈R恒有實(shí)數(shù)解，
∴△≥0，即（3+m）²-4[2+m（a²+b²]≥0，
化簡(jiǎn)得：m²+[6-4（a²+b²）]m+1≥0，
從而得：△′≤0，
即[6-4（a²+b²）]²-4≤0，
1≤a²+b²≤2，
則點(diǎn)（a，b）在平面ab上的區(qū)域是圓環(huán)，其面積為，
故答案為：π．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查一元二次不等式的應(yīng)用、二元一次不等式（組）與平面區(qū)域等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．