Question

符號[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[π]=3，[-1.08]=-2，定義函數(shù)h（x）=[x]-x，那么下列說法：
①函數(shù)h（x）的定義域為R，值域為（-1，0]；
②方程h（x）=-

1

2

有無數(shù)解；
③函數(shù)h（x）滿足h（x+1）=h（x）恒成立；   
④函數(shù)h（x）是減函數(shù)．
正確的序號是

①②③

．

Answer 1

分析：根據(jù)取整函數(shù)的定義，可得函數(shù)h（x）=[x]-x的最小正周期為1，在區(qū)間（k，k+1）（k∈Z）上是減函數(shù)，且函數(shù)的值域為（-1，0]．由此與各個選項加以比較，即可得到本題的答案．

解答：解：對于①，根據(jù)[x]的定義，得
當x為整數(shù)時，[x]=x，從而h（x）=[x]-x=0，此時h（x）得最大值；
當x的小數(shù)部分不為0時，x-1＜[x]＜x，故h（x）=[x]-x∈（-1，0）．
綜上所述，得h（x）的定義域為R，值域為（-1，0]．故①正確．
對于②，當x=k+

1

2

（k∈Z）時，[x]=k，從而h（x）=[x]-x=-

1

2

因此，方程h（x）=-

1

2

的解有無數(shù)個，故②正確；
對于③，因為一個數(shù)增加1個單位后，它的小數(shù)部分不變，而整數(shù)部分增加1，
因此[x+1]=x+1，從而得到h（x+1）=[x+1]-（x+1）=[x]-x
∴h（x）滿足h（x+1）=h（x）恒成立，得③正確；
對于④，函數(shù)h（x）=[x]-x在區(qū)間（k，k+1）（k∈Z）上是減函數(shù)
但是由于函數(shù)h（x）是分段函數(shù)，圖象不連續(xù)，所以函數(shù)h（x）不是R上的減函數(shù)，故④不正確．
故答案為：①②③

點評：本題以取整函數(shù)為例，要我們判斷關(guān)于函數(shù)h（x）=[x]-x性質(zhì)的幾個命題的真假，著重考查了函數(shù)的單調(diào)性、周期性和函數(shù)的定義域、值域等知識，屬于中檔題．