Question

設(shè)向量

a

=(cosα，cosβ)，

b

=（cosθ，cosφ），

c

=

a

+t

b

（t∈R），其中α、β、θ、?為銳角，且α+β=θ+?=2(α+?)=

π

2

．
（1）求

a

•

b

； 
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，

c

的模最��？最小值是多少？

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)量積運(yùn)算、誘導(dǎo)公式、兩角和差的余弦公式即可得出；
（2）利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、模的計(jì)算公式、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答：解：（1）∵向量

a

=(cosα，cosβ)，

b

=（cosθ，cosφ），∴

a

•

b

=cosαcosθ+cosβcosφ．
∵α+β=θ+φ=2（α+φ）=

π

2

，
∴cosβ=cos(

π

2

-α)=sinα，cosφ=cos(

π

4

-α)，cosθ=cos(

π

4

+α)．
∴

a

•

b

=cosαcos(

π

4

+α)+sinαcos(

π

4

-α)=

2

2

cosα(cosα-sinα)+

2

2

cosα(cosα+sinα)=

2

cos2α．
（2）∵α+β=θ+φ=2（α+φ）=

π

2

，
∴

a

2=cos2α+cos2β=cos²α+sin²α=1，

b

2=cos2θ+cos2φ=cos2(

π

4

+α)+cos2(

π

4

-α)=1．
∵|

c

|=

a 2+t2 b 2+2t a • b

=

t2+2 2 tcos2α+1

=

(t+ 2 cos2α)2+1-2cos4α

≥

1-2cos4α

，當(dāng)且僅當(dāng)t=-

2

cos2α，取等號(hào)．
∴|

c

|的最小值是

1-2cos4α

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握數(shù)量積運(yùn)算、誘導(dǎo)公式、兩角和差的余弦公式、三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、模的計(jì)算公式、二次函數(shù)的單調(diào)性等是解題的關(guān)鍵．