Question

已知關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式|x-

(tanθ+1)2

2

|≤

(tanθ-1)2

2

，x²-3﹙tanθ+1﹚x+2﹙3tanθ+1﹚≤0的解集分別為M、N，且M∩N=∅，這樣的θ存在嗎，若存在，求出θ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：交集及其運(yùn)算

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,集合

分析：由題意化簡(jiǎn)不等式，從而求出tanθ的取值范圍，從而求θ的取值范圍．

解答： 解：|x-

(tanθ+1)2

2

|≤

(tanθ-1)2

2

可化為
2tanθ≤x≤tan²θ+1，
即M={x|2tanθ≤x≤tan²θ+1}，
x²-3﹙tanθ+1﹚x+2﹙3tanθ+1﹚≤0可化為
[x-（3tanθ+1）]（x-2）≤0，
①若3tanθ+1=2，即tanθ=

1

3

時(shí)，
集合N={2}，M={x|

2

3

≤x≤

10

9

}，
M∩N=∅成立；
②若3tanθ+1＜2，即tanθ＜

1

3

時(shí)，
集合N=[3tanθ+1，2]，集合M=[2tanθ，tan²θ+1]，
則tan²θ+1＜3tanθ+1或2tanθ＞2，
解得，0＜tanθ＜

1

3

；
③若3tanθ+1＞2，即tanθ＞

1

3

時(shí)，
集合N=[2，3tanθ+1]，集合M=[2tanθ，tan²θ+1]，
則tan²θ+1＜2或2tanθ＞3tanθ+1，
即

1

3

＜tanθ＜1，
綜上所述，0＜tanθ＜1，
則θ的取值范圍為{θ|kπ＜θ＜kπ+

π

4

，k∈Z}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值及集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．