Question

在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD．

（Ⅰ）證明AB⊥平面VAD．

（Ⅱ）求面VAD與面VDB所成的二面角的余弦值.

 

Answer 1

（1）見解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）利用已知的線面垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.其中靈活建系是解題的關(guān)鍵；證明證線線垂直，只需要證明直線的方向向量垂直；（2）把向量夾角的余弦值轉(zhuǎn)化為兩平面法向量夾角的余弦值;空間向量將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，應(yīng)用的核心是要充分認(rèn)識(shí)形體特征，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，實(shí)施幾何問(wèn)題代數(shù)化.同時(shí)注意兩點(diǎn)：一是正確寫出點(diǎn)、向量的坐標(biāo)，準(zhǔn)確運(yùn)算；二是空間位置關(guān)系中判定定理與性質(zhì)定理?xiàng)l件要完備.

 

試題解析：（Ⅰ）作AD的中點(diǎn)O，則VO⊥底面ABCD． 建立空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，

則A（，0，0），B（，1，0），C（-，1，0），

D（-，0，0），V（0，0，），

∴

由

又AB∩AV=A

∴AB⊥平面VAD

（Ⅱ）由（Ⅰ）得是面VAD的法向量

設(shè)是面VDB的法向量，則

∴，

又由題意知，面VAD與面VDB所成的二面角的余弦值為．

考點(diǎn)：利用空間向量證明線線垂直和求夾角.