Question

已知函數(shù)f（x）=的圖象過點（-1，2），且在處取得極值．
（Ⅰ）求實數(shù)b，c的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-1，e]（e為自然對數(shù)的底數(shù)）上的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）當x＜1時，f^′（x）=-3x²+2x+b，
由題意得：，即，
解得：b=c=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=
①當-1≤x＜1時，f^′（x）=-x（3x-2），
解f^′（x）＞0得0＜x＜；解f^′（x）＜0得-1＜x＜0或＜x＜1
∴f（x）在（-1，0）和上單減，在（0，）上單增，
由f^′（x）=-x（3x-2）=0得：x=0或x=，
∵f（-1）=2，f（）=．f（0）=0，f（1）=0，
∴f（x）在[-1，1）上的最大值為2．
②當1≤x≤e時，f′（x）=alnx，
當a≤0時，f′（x）≤0；
當a＞時，f（x）在[1，e]單調(diào)遞增；
∴f（x）在[1，e]上的最大值為a．
∴當a≥2時，f（x）在[-1，e]上的最大值為a；
當a＜2時，f（x）在[-1，e]上的最大值為2．
分析：（Ⅰ）因為函數(shù)f（x）=的圖象過點（-1，2），可把（-1，2）點坐標代入，得到一個關(guān)于b，c的等式，再因為函數(shù)在處取得極值，所以函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為0，由此又得到一個關(guān)于b，c的等式，兩個等式聯(lián)立，就可解出b，c．
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)求最大值，因為f（x）為分段函數(shù)，所以可按x的范圍，分段求導(dǎo)數(shù)，找到極大值，再比較區(qū)間
[-1，e]上的極大值與端點函數(shù)值的大小，找到最大值．
點評：本題考查了應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求極值，最值，屬于導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，為高考必考內(nèi)容．