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20.記數(shù)列{2n}的前n項和為an,數(shù)列{1an}的前n項和為Sn,數(shù)列{bn}的通項公式為bn=n-11,則bnSn的最小值為-6.

分析 利用裂項相消法計算可知Sn=1-1n+1,進而可知bnSn=n+12n+1-12,通過記f(x)=x+12x+1,利用導數(shù)可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,23-1)單調(diào)遞減,在(23-1,+∞)上單調(diào)遞增,進而計算可得結論.

解答 解:依題意,an=2•nn+12=n(n+1),
1an=1n-1n+1,
∴Sn=1-12+12-13+…+1n-1n+1=1-1n+1,
則bnSn=(n-11)(1-1n+1)=n+12n+1-12,
記f(x)=x+12x+1,則f′(x)=1-12x+12=x2+2x11x+12,
令f′(x)=0,即x2+2x-11=0,解得:x=±23-1,
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,23-1)單調(diào)遞減,在(23-1,+∞)上單調(diào)遞增,
∵b2S2=2+4-12=-6,b3S3=3+3-12=-6,
∴bnSn的最小值為-6,
故答案為:-6.

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和,涉及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,注意解題方法的積累,屬于中檔題.

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