Question

設(shè)M是含有n個(gè)正整數(shù)的集合，如果M中沒有一個(gè)元素是M中另外兩個(gè)不同元素之和，則稱集合M是n級好集合．
（Ⅰ）判斷集合{1，3，5，7，9}是否是5級好集合，并說明理由；
（Ⅱ）給定正整數(shù)a，設(shè)集合M={a，a+1，a+2，…，a+k}是好集合，其中k為正整數(shù)，試求k的最大值，并說明理由；
（Ⅲ）對于任意n級好集合M，求集合M中最大元素的最小值（用n表示）．

Answer 1

考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷

專題：集合

分析：（Ⅰ）根據(jù)所給的新定義進(jìn)行判斷；
（Ⅱ）通過討論當(dāng)k=a時(shí)，當(dāng)k≥a+1時(shí)的情況，從而求出k的最大值；
（Ⅲ）通過討論①k為奇數(shù)，②k為偶數(shù)的情況，從而綜合①②，集合M中最大元素小于等于2n-3時(shí)，集合M必不是好集合．

解答： 解：（Ⅰ）該集合是5級好集合．
理由：該集合中5個(gè)元素均為奇數(shù)，而任2個(gè)不同元素之和均為偶數(shù)，因此該集合中沒有一個(gè)元素是另外兩個(gè)不同元素的和．
（Ⅱ）k的最大值為a
證明：當(dāng)k=a時(shí)，集合M中最小的兩個(gè)元素之和為2a+1，因此集合M中任意兩個(gè)不同元素之和的最小值為2a+1，而此時(shí)集合M中最大元素為2a＜2a+1，因此集合M中任意元素不可能為任意兩個(gè)不同元素之和，所以k=a時(shí)，集合M是好集合．
當(dāng)k≥a+1時(shí)，集合M中的元素2a+1等于另外兩個(gè)不同元素a和a+1的和，此時(shí)集合M不是好集合．
綜上，k的最大值為a．
（Ⅲ）集合M中最大元素的最小值為2n-2
證明：當(dāng)集合M中最大元素為2n-2時(shí)，集合M可以為{n-1，n，…，2n-2}，該集合中有n個(gè)元素，由（Ⅱ）可知該集合為好集合；
若集合M中最大元素為k，且k≤2n-3，則將1\～k-1分組
①k為奇數(shù)，分組如下：（1，k-1），（2，k-2）…，（

k-1

2

，

k+1

2

），共

k-1

2

組，

k-1

2

≤n-2，由于M中有n個(gè)元素，所以需要在以上

k-1

2

組選出n-1個(gè)數(shù)，則必有兩個(gè)數(shù)在同一組，這兩個(gè)數(shù)之和為k，則集合M中的元素k必可表示為其他兩個(gè)不同元素之和，M不是好集合．
②k為偶數(shù)，則有k≤2n-4，此時(shí)分組如下：（1，k-1），（2，k-2）…，（

k-2

2

，

k+2

2

），（

k

2

），共

k

2

組，

k

2

≤n-2，由于M中有n個(gè)元素，所以需要在以上

k

2

組選出n-1個(gè)數(shù)，則必有兩個(gè)數(shù)在同一組，這兩個(gè)數(shù)之和為k，則集合M中的元素k必可表示為其他兩個(gè)不同元素之和，M不是好集合．
綜合①②，集合M中最大元素小于等于2n-3時(shí)，集合M必不是好集合．
綜上，集合M中最大元素的最小值為2n-2．

點(diǎn)評：本題考查了元素和集合的關(guān)系，考查了新定義問題，是一道綜合題．