Question

已知函數(shù)f（x）=e^x+2x²-3x．
（Ⅰ）求證函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上存在唯一的極值點，并用二分法求函數(shù)取得極值時相應(yīng)x的近似值（誤差不超過0.2）；（參考數(shù)據(jù)e≈2.7，，e^0.3≈1.3）
（Ⅱ）當(dāng)時，若關(guān)于x的不等式恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）f′（x）=e^x+4x-3，（1分）
令h（x）=f'（x）=e^x+4x-3，則h′（x）=e^x+4＞0，（2分）
∴f′（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，
∵f′（0）=e⁰-3=-2＜0，f'（1）=e+1＞0，
∴f′（0）•f′（1）＜0．（3分）
又∵f′（x）在區(qū)間[0，1]上是單調(diào)函數(shù)
∴f′（x）在區(qū)間[0，1]上存在唯一零點，
∴f（x）在區(qū)間[0，1]上存在唯一的極小值點．（4分）
取區(qū)間[0，1]作為起始區(qū)間，用二分法逐次計算如下：
①f'（0.5）≈0.6＞0，而f'（0）=-2＜0，
∴f'（0.5）×f'（0）＜0）
∴極值點所在區(qū)間是[0，0.5]；
②又f'（0.3）≈-0.5＜0，
∴f'（0.3）×f'（0.5）＜0，
∴極值點所在區(qū)間是[0.3，0.5]；
③∵|0.5-0.3|=0.2，
∴區(qū)間[0.3，0.5]內(nèi)任意一點即為所求．
∴x=0.4（7分）
（Ⅱ）由，得，
即，
∵，∴，（8分）
令，則．（10分）
令，則φ'（x）=x（e^x-1）．
∵，∴φ′（x）＞0，∴φ（x）在上單調(diào)遞增，
∴，
因此g′（x）＞0，故g（x）在上單調(diào)遞增，（12分）
則，
∴a的取值范圍是．（14分）
分析：（Ⅰ）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求導(dǎo)數(shù)在0和1處的值，乘積小于0即可
（Ⅱ）利用分參法把a分離出來，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求a的取值范圍
點評：該題考查函數(shù)的求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，會使用二分法和分參法的方法求出a的取值范圍．注意極值點的取值區(qū)間．