Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

x2+alnx(a∈R)．
（Ⅰ）若a=-1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若?x＞0，使f（x）≤0成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出其導(dǎo)函數(shù)，讓其大于0求出增區(qū)間，小于0求出減區(qū)間即可；
（Ⅱ）先由a＞0得f（x）的值域?yàn)镽；a=0，f(x)=

1

2

x2＞0滿(mǎn)足要求；再對(duì)a＜0時(shí)，求出其導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)研究出其極小值，與0相比即可求得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，f(x)=

1

2

x2-lnxf′(x)=x-

1

x

，（1分）
令f′(x)=x-

1

x

＞0，解得x＞1，所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）；（3分）
f′(x)=x-

1

x

＜0，解得0＜x＜1，所以f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，1）..（4分）
（Ⅱ）當(dāng)a＞0，由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)，f（x）的值域?yàn)镽；（5分）
當(dāng)a=0，f(x)=

1

2

x2＞0，所以對(duì)?x＞0，f（x）＞0恒成立；（6分）
當(dāng)a＜0，由f′(x)=x+

a

x

．令f′（x）=0，∴x=

-a

列表：

x	(0， -a )	-a	( -a ，+∞)
f′（x）	_	0	+
f（x）	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)

（8分）
這是f(x) min=f(

-a

)=-

a

2

+aln

-a

．（10分）
∵?x＞0，使f（x）≤0成立，∴-

a

2

+aln

-a

≤0，∴a≤-e，
∴a范圍為（-∞，-e]∪（0，+∞）．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題第二問(wèn)考查利用導(dǎo)函數(shù)來(lái)研究函數(shù)的極值．在利用導(dǎo)函數(shù)來(lái)研究函數(shù)的極值時(shí)，分三步①求導(dǎo)函數(shù)，②求導(dǎo)函數(shù)為0的根，③判斷根左右兩側(cè)的符號(hào)，若左正右負(fù)，原函數(shù)取極大值；若左負(fù)右正，原函數(shù)取極小值．