分析 運(yùn)用橢圓的離心率公式,可得a2=2b2=2c2,設(shè)Mn的坐標(biāo)為(t,0),直線方程為y=k(x-t),代入橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理,再由直線的斜率公式,化簡整理,可得kAPn•kAPn+1=t−a2(t+a),再由等分點(diǎn),設(shè)出t的坐標(biāo),化簡整理,計算即可得到所求值.
解答 解:由題意可得e=ca=√22,可得a2=2b2=2c2,
設(shè)Mn的坐標(biāo)為(t,0),直線方程為y=k(x-t),
代入橢圓方程x2+2y2=2b2,可得(1+2k2)x2-4tk2x+2k2t2-2b2=0,
即有x1+x2=4tk21+2k2,x1x2=2k2t2−221+2k2,
kAPn•kAPn+1=y1x1+a•y2x2+a=k2(x1−t)(x2−t)(x1+a)(x2+a)
=k2(x1x2+t2−t(x1+x2))x1x2+a2+a(x1+x2)=k2(2k2t2−22−4t2k2+t2+2k2t2)2k2t2−22+4atk2+a2+2k2a2
=t2−222(t2+2at+a2)=t2−a22(t+a)2=t−a2(t+a),
可令t=-2014a2016,-2012a2016,…,-4a2016,-2a2016,0,2a2016,4a2016,…,2012a2016,2014a2016,
即有AP1,AP2,…,AP4030的斜率乘積為122015•(−40302•−40284…−20202012•−20182014)•−11•(−20142018•−20122020…−44028•−24030)=-122015.
故答案為:-2-2015.
點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì),注意直線方程和橢圓方程聯(lián)立,運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式,考查化簡整理的運(yùn)算能力,運(yùn)算量較大,屬于難題.
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