Question

已知函數f（x）的定義域為D．若存在區(qū)間[m，n]⊆D，使函數f（x）在[m，n]上的值域為[km，kn]（k＞0），則稱函數f（x）是k類函數．設函數f（x）=x³+2x²+x（x≤0）是k類函數，則n-m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數的值域

專題：計算題,作圖題,函數的性質及應用

分析：由題意作出函數f（x）=x³+2x²+x（x≤0）圖象，由圖象確定n、m的取值范圍，從而求n-m．

解答： 解：作出函數f（x）=x³+2x²+x（x≤0）圖象如下：

令f′（x）=3x²+4x+1=0，
解得，x=-1或x=-

1

3

，
令f（x）=f（-

1

3

），即x³+2x²+x=-

4

27

，
解得，x=-

4

3

，
由存在區(qū)間[m，n]⊆D，使函數f（x）在[m，n]上的值域為[km，kn]（k＞0）知，
n=0，m≥-

1

3

或m≤-

4

3

，
則n-m的取值范圍為（0，

1

3

]∪[

4

3

，+∞）．
故答案為：（0，

1

3

]∪[

4

3

，+∞）．

點評：本題考查了學生對于新知識的學習能力，同時考查了學生的作圖與轉化能力，屬于基礎題．