Question

如圖，矩形AMND所在的平面與直角梯形MBCN所在的平面互相垂直，MB∥NC，MN⊥MB．
（Ⅰ）求證：平面AMB∥平面DNC；
（Ⅱ）若MC⊥CB，求證BC⊥AC．

Answer 1

證明：（Ⅰ）∵M(jìn)B∥NC，MB?平面DNC，NC?平面DNC，
∴MB∥平面DNC．
∵AMND是矩形，
∴MA∥DN．
又MA?平面DNC，DN?平面DNC，
∴MA∥平面DNC．
又MA∩MB=M，且MA，MB?平面AMB，
∴平面AMB∥平面DNC．
（Ⅱ）∵AMND是矩形，
∴AM⊥MN．
∵平面AMND⊥平面MBCN，且平面AMND∩平面MBCN=MN，
∴AM⊥平面MBCN．
∵BC?平面MBCN，
∴AM⊥BC．
∵M(jìn)C⊥BC，MC∩AM=M，
BC⊥平面AMC．
∵AC?平面AMC，
∴BC⊥AC．
分析：（Ⅰ）由MB∥NC，利用線面平行的判定定理可得MB∥平面DNC，同理可得MA∥平面DNC．利用面面平行的判定定理即可證明．
（Ⅱ）利用線面、面面垂直的判定和性質(zhì)定理即可證明．
點(diǎn)評：熟練掌握線面、面面平行與垂直的判定、性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．