【題目】已知的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,且所在直線的斜率之積等于,記頂點(diǎn)的軌跡為.

Ⅰ)求頂點(diǎn)的軌跡的方程;

Ⅱ)若直線與曲線交于兩點(diǎn),點(diǎn)在曲線上,且的重心(為坐標(biāo)原點(diǎn)),求證:的面積為定值,并求出該定值.

【答案】(Ⅰ)Ⅱ)證明見解析,定值為.

【解析】

(Ⅰ)設(shè),根據(jù)題意列方程即可求解.

(Ⅱ)設(shè),,由的重心,可得,從而,將直線與橢圓方程聯(lián)立整理利用韋達(dá)定理求出點(diǎn)坐標(biāo),代入橢圓方程可得,再利用弦長(zhǎng)公式以及三角形的面積公式即可求解.

(Ⅰ)設(shè),

因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為,所以直線的斜率為

同理,直線的斜率為

由題設(shè)條件可得,.

化簡(jiǎn)整理得,頂點(diǎn)的軌跡的方程為:.

Ⅱ)設(shè),,

因?yàn)?/span>的重心,所以,

所以,

,

,,

,,,

又點(diǎn)在橢圓上,所以,

,

因?yàn)?/span>的重心,所以倍,

,

原點(diǎn)到直線的距離為,

.

所以,

所以,的面積為定值,該定值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)求樣本平均數(shù)和樣本方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);

2)若學(xué)校規(guī)定評(píng)估成績(jī)超過82.7分的畢業(yè)生可參加三家公司的面試.

用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值.請(qǐng)利用估計(jì)值判斷這2000名畢業(yè)生中,能夠參加三家公司面試的人數(shù);

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(2)若數(shù)列數(shù)列,且,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(3)若數(shù)列數(shù)列,證明:是等差數(shù)列 .

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