Question

已知函數f（x）=sin²ωx+

3

sinωsin（ωx+

π

2

）+2cos²ωx，x∈R（ω＞0），在y軸右側的第一個最高點的橫坐標為

π

6

．若將函數f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位后，再將得到的圖象上各點橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象．
（1）求函數g（x）的最大值及單調遞減區(qū)間．
（2）（理）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，a=

3

，b+c=3，且f（A）=2，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：正弦定理,函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：解三角形

分析：（1）利用輔助角公式和倍角公式將函數化簡f（x）=sin（2ωx+

π

6

）+

3

2

，再根據題設條件求出ω=1，然后根據條件進行變換即可；
（2）（理）根據f（A）=2確定A=

π

3

，利用余弦定理建立方程求解b、c，代入面積公式計算即可．

解答： 解：（1）f（x）=sin²ωx+

3

sinωsin（ωx+

π

2

）+2cos²ωx
=

3

2

sin2ωx+

1

2

cos2ωx+

3

2

=sin（2ωx+

π

6

）+

3

2

．
令2ωx+

π

6

=

π

2

，
將x=

π

6

代入可得：ω=1．
∴f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

．
經過題設的變化得到的函數g（x）=sin（x-

π

6

）+

3

2

．
當x=2kπ+

2

3

π，k∈Z時，函數取得最大值

5

2

．
令2kπ+

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

3

2

π，
即x∈[2kπ+

2

3

π，2kπ+

5

3

π]，k∈Z為函數的單調遞減區(qū)間．
（2）（理）f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

，
∵f（A）=2，
∴sin(2A+

π

6

)=

1

2

，
而

π

6

＜2A+

π

6

＜

13

6

π，
∴2A+

π

6

=

5

6

π，∴A=

π

3

，
由余弦定理知cosA=

b2+c2-a2

2bc

，
∴b²+c²-bc=3，又b+c=3，
聯(lián)立解得

b=2 c=1

或

b=1 c=2

，
∴S△ABC=

1

2

bcsinA=

3

2

．

點評：本題考查倍角公式、輔助角公式等三角恒等變換公式的應用，三角函數單調性，解三角形等基礎知識的綜合應用，屬于中檔題．