Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=

2

3

，a_n+1•（1+a_n）=1．
（1）試計(jì)算a₂，a₃，a₄，a₅的值；
（2）猜想|a_n+1-a_n|與

1

15

(

2

5

)n-1（其中n∈N^*）的大小關(guān)系，并證明你的猜想．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）利用數(shù)列遞推式，代入計(jì)算，即可求a₂、a₃、a₄，a₅
（2）由（1）求出|a_n+1-a_n|，計(jì)算

1

15

(

2

5

)n-1的前幾項(xiàng)，從而猜想|a_n+1-a_n|≤

1

15

(

2

5

)n-1，利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=

2

3

，a_n+1•（1+a_n）=1．
∴a₂=

1

1+ 2 3

=

3

5

，a₃=

1

1+ 3 5

=

5

8

，a₄=

1

1+ 5 8

=

8

13

，a₃=

1

1+ 8 13

=

13

21

．
（2）由（1）得，|a₂-a₁|=

1

15

，|a₃-a₂|

1

40

，|a₄-a₃|=

1

104

，|a₅-a₄|=

1

273

；
而n分別取1，2，3，4時(shí)，

1

15

(

2

5

)n-1分別為：

1

15

，

2

75

，

4

375

，

8

1875

，
猜想|a_n+1-a_n|≤

1

15

(

2

5

)n-1．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想．
①當(dāng)n=1時(shí)，已經(jīng)證明；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1，k∈N）時(shí)猜想成立，即|a_k+1-a_k|≤

1

15

(

2

5

)k-1，由a₁=

2

3

，a_n+1=

1

1+an

，且0＜a₁＜1
∴0＜a_n＜1，∴

1

2

＜an+1=

1

1+an

＜1且

1

2

＜a1=

2

3

＜1∴

1

2

＜an＜1，
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，∵a_k+1•（1+a_k）=（1+

1

1+ak

）•（1+a_k）=2+a_k＞2+

1

2

=

5

2

，
∴|a_k+2-a_k+1|=|

1

1+ak+1

-

1

1+ak

|=

|ak+1-ak|

(1+ak+1)(1+ak)

≤

1 15 ( 2 5 )k-1

(1+ak+1)(1+ak)

≤

1

15

(

2

5

)k-1•

2

5

=

1

15

(

2

5

)k也就說，當(dāng)n=k+1時(shí)命猜想也成立．
綜上由①②可知，猜想成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．