Question

試證：當n為正整數(shù)時，f(n)=3²ⁿ⁺²-8n-9能被64整除.

Answer 1

證明略

解析:

證明  方法一  （1）當n=1時，f(1)=3⁴-8-9=64,

命題顯然成立.

（2）假設(shè)當n=k (k≥1,k∈N^*)時，

f(k)=3^2k+2-8k-9能被64整除.

由于3^2(k+1)+2-8(k+1)-9=9(3^2k+2-8k-9)+9·8k+9·9-8(k+1)-9=9(3^2k+2-8k-9)+64(k+1)

即f(k+1)=9f(k)+64(k+1)

∴n=k+1時命題也成立.

根據(jù)（1）（2）可知，對任意的n∈N^*，命題都成立.

方法二  （1）當n=1時，f(1)=3⁴-8-9=64，命題顯然成立.

（2）假設(shè)當n=k (k≥1,k∈N^*)時，f(k)=3^2k+2-8k-9能被64整除.

由歸納假設(shè)，設(shè)3^2k+2-8k-9=64m(m為大于1的自然數(shù))，將3^2k+2=64m+8k+9代入到f(k+1)中得

f(k+1)=9(64m+8k+9)-8(k+1)-9=64(9m+k+1),

∴n=k+1時命題成立.

根據(jù)（1）（2）可知，對任意的n∈N^*,命題都成立.