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8.設(shè)F是雙曲線C:x2a2-y22=1(a>0,b>0)的右焦點,過點F向C的一條漸近線引垂線,垂足為A,交另一條漸近線于點B.若2FA=FB,則雙曲線C的離心率是2.

分析 由題意得右焦點F(c,0),設(shè)一漸近線OA的方程為y=ax,則另一漸近線OB的方程為y=-\frac{a}x,由垂直的條件可得FA的方程,代入漸近線方程,可得A,B的橫坐標(biāo),由向量共線的坐標(biāo)表示,結(jié)合離心率公式,解方程可得.

解答 解:由題意得右焦點F(c,0),
設(shè)一漸近線OA的方程為y=ax,
則另一漸近線OB的方程為y=-ax,
由FA的方程為y=-\frac{a}(x-c),
聯(lián)立方程y=ax,
可得A的橫坐標(biāo)為a2c,
由FA的方程為y=-\frac{a}(x-c),聯(lián)立方程y=-\frac{a}x,
可得B的橫坐標(biāo)為ca2a22
由2FA=FB,
可得2(a2c-c)=ca2a22-c,
即為2a2c-c=ca22a2c2,
由e=ca,可得2e2-1=12e2,
即有e4-5e2+4=0,解得e2=4或1(舍去),
即為e=2.
故答案為:2.

點評 本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用:求離心率,同時考查向量的共線的坐標(biāo)表示,求得點A、B的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

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