Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2015}（x-1），x＞2}\\{sin\frac{πx}{2}，0≤x≤2}\\{（\frac{1}{2}）^{x}-1，x＜0}\end{array}\right.$，若f（x）=k有四個互不相等的實數(shù)根，則函數(shù)f（x）的零點為0和2；k的取值范圍為0＜k＜1．

Answer 1

分析 作出函數(shù)f（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進行判斷，由f（x）=0，分別進行求解即可得函數(shù)的零點．

解答 解：作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
要使f（x）=k有四個互不相等的實數(shù)根，
則0＜k＜1，
當x＞2時，由log₂₀₁₅（x-1）=0，得x-1=1，得x=2，此時x不成立，
當0≤x≤2時，由sin$\frac{πx}{2}$=0，得$\frac{πx}{2}$=0或$\frac{πx}{2}$=π，得x=2或x=0，
當x＜0時，由（$\frac{1}{2}$）^x-1=0，得（$\frac{1}{2}$）^x=1，得x=0，此時x不成立，
綜上x=2或x=0，
即函數(shù)f（x）的零點為0和2，
故答案為：0和2，0＜k＜1；

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應用，利用方程法以及數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．比較基礎(chǔ)．