Question

（2012•藍(lán)山縣模擬）函數(shù)f（x）=e^xlnx-1的零點個數(shù)是

1

個．

Answer 1

分析：由于連續(xù)函數(shù)f（x）=e^xlnx-1在[0，+∞）上是增函數(shù)，f（1）＜0，f（e）＞0，可得函數(shù)f（x）=e^xlnx-1在[1，e）上有唯一零點，由此得到答案．

解答：解：由于連續(xù)函數(shù)f（x）=e^xlnx-1在[1，+∞）上是增函數(shù)，
證明：設(shè) 1≤x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=ex1lnx1-ex2lnx2＜ex2（lnx₁-lnx₂）．
由 1≤x₁＜x₂ 可得 ex2＞0，lnx₁＜lnx₂，故ex2（lnx₁-lnx₂）＜0，故，f（x₁）＜f（x₂），故f（x）=e^xlnx-1在[1，+∞）上是增函數(shù)．
再由f（1）=0-1=-1＜0，f（e）=e^e-1＞0可得 f（1）f（e）＜0，
故函數(shù)f（x）=e^xlnx-1在[1，e）上有唯一零點，
故答案為 1．

點評：本題主要考查函數(shù)的零點的定義，判斷函數(shù)的零點所在的區(qū)間的方法，屬于基礎(chǔ)題．