Question

已知函數(shù)f(x)=1+cos2x-2sin2(x-

π

6

)，其中x∈R，則下列結(jié)論中正確的是（　　）

• A、f（x）是最小正周期為π的偶函數(shù)
• B、f（x）的一條對(duì)稱軸是x=

  π

  3

• C、f（x）的最大值為2
• D、將函數(shù)y=

  3

  sin2x的圖象左移

  π

  6

  得到函數(shù)f（x）的圖象

Answer 1

分析：先利用二倍角公式和和差化積公式對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)整理可求得f（-x）≠f（x）推斷出函數(shù)不是偶函數(shù)，排除A，令2x-

π

6

=2kπ，求得函數(shù)的對(duì)稱軸，進(jìn)而可推斷出B不正確；根據(jù)余弦函數(shù)的值域可知函數(shù)的最大值為

3

排除C，根據(jù)圖象平移的法則可推斷出D項(xiàng)正確．

解答：解：f(x)=1+cos2x-2sin2(x-

π

6

)=cos2x+cos（2x-

π

3

）=2cos（2x-

π

6

）cos

π

6

=

3

cos（2x-

π

6

）
f（-x）=

3

cos（-2x-

π

6

）=

3

cos（2x+

π

6

）≠f（x）故不是偶函數(shù)，排除A；
令2x-

π

6

=2kπ，x=kπ+

π

12

，即x=kπ+

π

12

，為函數(shù)的對(duì)稱軸，故x=

π

3

不是函數(shù)的對(duì)稱軸排除B
∵

3

cos（2x-

π

6

）≤

3

，函數(shù)的最大值為

3

，排除C
將函數(shù)y=

3

sin2x的圖象左移

π

6

得到函數(shù)y=

3

cos（2x-

π

6

）的圖象即函數(shù)f（x）的圖象，故D正確．
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)的最值，周期性，對(duì)稱性以及三角函數(shù)的圖象變換．考查了基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．