Question

 已知橢圓長軸的左右端點分別為A，B，短軸的上端點為M，O為橢圓的中心，F(xiàn)為橢圓的右焦點，且·＝1，｜｜＝1．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若直線l交橢圓于P，Q兩點，問：是否存在直線l，使得點F恰為△PQM的垂心?若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）橢圓方程為；（Ⅱ）滿足題意的直線存在，方程為：.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,可采用待定系數(shù)法求方程, 設(shè)橢圓方程為，利用條件求的值,從而得方程,因為｜｜＝1,即,再由·＝1,寫出,的坐標(biāo),從而求出的值,可得方程;（Ⅱ）此題屬于探索性命題,解此類問題，一般都假設(shè)成立，作為條件，能求出值，則成立，若求不出值，或得到矛盾的結(jié)論，則不存在，此題假設(shè)存在直線符合題意，設(shè)出直線方程，根據(jù)直線與二次曲線位置關(guān)系的解題方法，采用設(shè)而不求的解題思維，設(shè)的坐標(biāo)，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系，來求出直線方程，值得注意的是，當(dāng)方程不恒有交點時，需用判別式討論參數(shù)的取值范圍．

試題解析：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為，，所以，又因為，所以，則橢圓方程為；

（Ⅱ）假設(shè)存在直線符合題意。由題意可設(shè)直線方程為：，代入得：，，設(shè)，則，，    解得：或 ， 當(dāng)時，三點共線，所以，所以，所以滿足題意的直線存在，方程為：.

考點：本題考查橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的運算能力、化簡能力以及數(shù)形結(jié)合的能力．